Home/ Intrebari/Q 86159
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

marianstefi20
Pe: 2014-04-02T15:06:02+03:00 In: In:

Probleme limite de siruri – Admitere UTC Cluj

Buna ziua tuturor.
Va cer ajutorul pentru a putea rezolva niste probleme de admitere din Cartea de admitere de la Cluj, editia 2013.

Problema 393
\large \lim_{x \to \infty} n^2 \left(\frac{n^{1-a}(n+1)^a}{a+n}-1 \right)
Raspunsul este: \frac{a(a-1)}{2}
Chiar nu pot intelege acest rezultat si nu pot ajunge la el. Am incercat sa scriu $n^{1-a} ca \frac{1}{n^{a-1}} = \frac{n}{n^a}$ si apoi sa fac cu e, dar ajung tot la nedeterminare.

Problema 396
\large \lim_{n \to \infty} \frac{4^n(C_{4n}^{2n})^2}{C_{2n}^n C_{8n}^{4n}}
Raspunsul este: 1

Un mic ajutor ar fi tare apreciat!Multumesc.

Similare

19 raspunsuri

  1. vTudor

    La primul exercitiu este (n^2) * (paranteza) sau n^[2*(paranteza)] ca nu se intelege foarte bine.

  2. marianstefi20

    vTudor wrote: La primul exercitiu este (n^2) * (paranteza) sau n^[2*(paranteza)] ca nu se intelege foarte bine.

    Este n^2

  4. PhantomR
    expert (VI)

    Salutari!! Nu se spune cumva ca a e natural 🙂?

  5. marianstefi20

    PhantomR wrote: Salutari!! Nu se spune cumva ca a e natural 🙂?

    Din pacate se spune doar ce am scris si in cerinta de mai sus. Sunt cam sumare cerintele, nespecificandu-se ce reprezinta fiecare necunoscuta.

  6. PhantomR
    expert (VI)

    Of:). Multumesc de informatie!!

    O idee de rezolvare ar fi sa incerci sa consideri expresia ca o functie in x („inlocuiesti” pe n cu x), aduci la celasi numitor, si bagi acel x^2 la numarator, apoi sa incerci sa prelucrezi expresia in asa fel incat sa poti aplica . Daca reusesti sa obtii rezultatul acela in acest mod, el va tine si pentru n natural, caci daca \lim_{x\to\infty}f(x)=L (a se interpreta x real), atunci \lim_{n\to\infty}f(n)=L (aici n e natural) (consecinta a Definitiei Heine (cu siruri) pentru limite de functii, aplicata pentru sirul a_n=n\to\infty).

    Din pacate, mie nu mi-a iesit, dar presupun ca se poate in acest mod.

    Ca o confirmare a rezultatului, eu am reusit sa obtin acel raspuns presupunand a natural si folosind Binomul lui Newton.

  8. DD
    profesor

    L=lim(n->infinit)n^2.{[n^(1-a).(1+n)^a]/(a+n)-1}=
    lim(n->infinit)n^2{[(1+1/n)^a]/(1+a/n)-1}=
    lim(n->infinit)n^2{(1+C(a,1).(1/n)+C(a,2).(1/n^2)+C(a,3).(1/n^3)+ …+C(a,a).(1/n^n)-1-a/n}/(1+a/n)=lim(x->infinit)n^2{C(a,2)(1/n^2)+C(a,3)
    .(1/n^3)+…..+C(a,a).(1/n^n)}/(1+a/n)=lim(n->infinit){C(a,2)+C(a,3).(1/n)+
    ….C(a,a).(1/n^(n-2))}/(1+a/n)->C(a,2)=a(a-1)/2

  9. PhantomR
    expert (VI)

    Pentru cazul a natural am facut si eu cam asa (posibil sa seamene mult cu ce a facut domnul DD):

    \frac{n^3(1+\frac{1}{n})^a-n^3-an^2}{a+n}=\frac{n^3(1+C_a^1\frac{1}{n}+C_a^2\frac{1}{n^2}+C_a^3\frac{1}{n^3}+...)-n^3-an^2}{a+n}=\frac{n^3+an^2+\frac{a(a-1)}{2}n+...-n^3-an^2}{a+n}=\frac{\frac{a(a-1)}{2}n+...}{n+a}=\frac{\frac{a(a-1)}{2}n}{n+a}+\frac{...}{n+a}\to\frac{a(a-1)}{2}+\frac{0}{\infty}=\frac{a(a-1)}{2}

  10. marianstefi20

    Cu l’Hopital da ceva foarte complicat la mine, dar dupa pagini de calcule raman cu o relatie gresita dar care daca nu ar fi un -n ar iesi ca la raspuns. Sunt convins ca pe undeva prin acele foi se gaseste eventuala greseala.Deci cu l’Hopital e foarte posibil sa mearga. Totusi cred ca voi merge pe o rezolvare cu a natural, caci mi se pare mult prea complicata abordarea cu l’hopital(cel putin a mea).

    Mersi mult Alex!

  12. PhantomR
    expert (VI)

    Cu multa placere! La mine marea problema era ca aparent nu reuseam sa fac nedeterminare \frac{\infty}{\infty}, caci sus imi iesea o limita \infty \cdot 0. Am sa mai intreb si eu si in caz ca primesc vreun raspuns am sa iti spun. ^_^

  13. DD
    profesor

    Pentru domnul ”marianstefi20″”Limitei in cauza nu i se poate aplica L’Hospital
    pentru ca expresia nu este o functie de x -variabila continua ci este functie de
    n-variabila discreta (numere naturale) si expresia este discreta iar ca functie este discontinua

  14. PhantomR
    expert (VI)

    @domnul DD: Va multumesc pentru atentionare! Eu din pacate am omis acest important detaliu..

    Daca as putea sa va intreb, cum ati studiat continuitatea?

  16. ghioknt
    profesor

    Pe ideea domnului PhantomR, eu aş scrie aşa:
    a_n=n^2\left ( \frac{\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^a}{1+\frac{a}{n}}-1 \right )=\frac{(1+\frac{1}{n})^a-1-\frac{a}{n}}{\frac{1}{n^2}+\frac{a}{n^3}}=f(\frac{1}{n}),
    unde f(x)=\frac{\left ( 1+x \right )^a-1-x}{x^2+ax^3};\;\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\frac{a(1+x)^{a-1}-a}{2x+3ax^2}=\lim_{x\to 0}\frac{a(a-1)(1+x)^{a-2}}{2+6ax}=\frac{a(a-1)}{2}\;etc.
    Cu bine,
    ghioknt

  17. PhantomR
    expert (VI)

    Foarte frumos! Va multumesc! ^_^

  18. ghioknt
    profesor

    Nu cumva problemele de admitere sunt cu răspunsuri la alegere? Dacă da, dă-ne şi lista de răspunsuri, nu ne obliga să ne
    chinuim cu ceeace crezi tu că este enunţul problemei: calculaţi limita … Adevăratul enunţ este: eliminaţi răspunsurile aberante
    din urmatoarea listă.     Chiar şi la prima problemă, aş calcula limita pentru a=3 să zicem, aş obţine limita 3 şi dacă singurul
    răspuns din lista de răspunsuri care dă această valoare este a(a-1)/2, am rezolvat problema. Dacă am ghinion, mai incerc
    cu altă valoare.
    Să abordez şi al doilea exerciţiu, în aceeaşi idee, dar aici am nevoie de nişte pregătiri.
    \frac{(2n)!}{n!}=\frac{(2n)!!(2n-1)!!}{n!}=\frac{2n(2n-2)...\cdot 2\cdot(2n-1)(2n-3)...\cdot1}{n!}=2^n\cdot (2n-1)!!\Rightarrow C_{2n}^n=\frac{2^n\cdot (2n-1)!!}{n!}.
    a_n=2^{2n}\cdot \frac{2^{2n}\cdot (4n-1)!!}{(2n)!}\cdot \frac{2^{2n}\cdot (4n-1)!!}{(2n)!}\cdot \frac{n!}{2^n\cdot (2n-1)!!}\cdot \frac{(4n)!}{2^{4n}\cdot (8n-1)!!}=\frac{2^n\cdot (4n-1)!!}{(2n)!}\cdot \frac{(4n-1)!!}{(2n)!}\cdot \frac{n!}{(2n-1)!!}\cdot \frac{(4n)!}{(8n-1)!!}=
    =\frac{2^n\cdot (4n-1)!!}{2^n(2n-1)!!}\cdot \frac{(4n-1)!!}{1}\cdot \frac{1}{(2n-1)!!}\cdot \frac{2^{2n}(4n-1)!!}{(8n-1)!!}=\frac{[2^n(4n-1)...(2n+1)]^2}{(8n-1)(8n-3)...(4n+1)}=
    =\frac{[(8n-2)(8n-6)...(4n+2)]^2}{(8n-1)(8n-3)...(4n+1)}=\frac{(8n-2)^2}{(8n-1)(8n-3)}\cdot \frac{(8n-6)^2}{(8n-5)(8n-7)}\cdot ...\cdot \frac{(4n+2)^2}{(4n+3)(4n+1)}>1
    pentru că fiecare fracţie este supraunitară (din inegalitatea mediilor, de exemplu).
    Şirul este descrescător: \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(8n+6)^2}{(8n+7)(8n+5)}\cdot \frac{(8n+2)^2}{(8n+3)(8n+1)}\cdot \frac{(4n+3)(4n+1)}{(4n+2)^2}=
    =\frac{4[(4n+3)(4n+1)]^3}{(8n+7)(8n+1)(8n+5)(8n+3)(2n+1)^2}=\frac{4(4c+3)^3}{(16c+7)(16c+15)(c+1)}=\frac{256c^3+576c^2+432c+108}{256c^3+608c^2+457c+105}<1
    unde c=4n^2+4n. Dar primul termen este 36/35, deci limita şirului aparţine intervalului [1; 36/35).
    Orice răspuns care nu se încadrează aici trebuie eliminat.
    Cu bine,
    ghioknt

  20. marianstefi20

    Imi cer scuze pentru lipsa de detalii. Din pacate, chiar numai ce am scris eu este enuntul in sine, iar variantele de raspuns la problema cu combinari sunt:

    A.\sqrt[3]{2} \\ B.\sqrt[3]{4} \\ C.1 \\ D.\frac{1}{2} \\ E. \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \\

    Raspunsul corect este C.

    Domnule ghioknt, tin sa va multumesc foarte mult pentru rezolvarea ce ati facut-o la problema cu combinari…chiar foarte interesanta rezolvare.

  21. ghioknt
    profesor

    Iată, am avut dreptate. Dacă socotelile mele sunt corecte, atunci am rezolvat problema. Primele 2 răspunsuri nu pot fi limita
    şirului pentru că sunt > 36/35, iar ultimele 2, pentru că sunt < 1. Deci voi bifa C. Dacă tu nu spui şi răspunsurile la alegere,
    atunci îi obligi pe cei care vor să te ajute să rezolve o problemă mult mai grea, adică să demonstreze efectiv că limita este 1.
    Cu ce am greşit ca sa fim astfel pedepsiţi? La examen tu ai un timp limitat pentru un numar relativ mare de probleme.
    Scopul tau este să intri la facultate, nu să rezolvi problemele; pentru asta trebuie să-ţi foloseşti cunoştinţele şi abilităţile în
    domeniul matematicii pentru a depista cât mai repede răspunsul corect. Pentru acest exerciţiu, în sala de examen, este
    suficient să calculezi 2 – 3 termeni şi să-ţi dai seama cât de apropiaţi sunt între ei şi faţă de 1 ca să-ţi dai seama că trebuie bifat C.
    Formula lui Stirling: \lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi}}=1.
    Iată cum se utilizează acest rezultat: Fie\;a_n=n!E(n);\;\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi}}\cdot n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi}E(n)=1\cdot \lim_{n\to\infty}n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi}E(n),
    adică în expresia lui a_n se înlocuieşte n!\;cu\;n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi}, apoi se calculează limita.
    Pentru că şirul nostru conţine multe factoriale, voi costrui câteva prefabricate.
    C_{2n}^n=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\approx\frac{(2n)^{2n}e^{-2n}\sqrt{4n\pi}}{[n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi}]^2}=\frac{2^{2n}}{\sqrt{\pi n}}\Rightarrow C_{4n}^{2n}\approx \frac{2^{4n}}{\sqrt{2\pi n}};\;C_{8n}^{4n}\approx \frac{2^{8n}}{2\sqrt{\pi n}}.
    \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}2^{2n}\cdot\frac{2^{8n}}{2\pi n}\cdot\frac{\sqrt{\pi n}}{2^{2n}}\cdot\frac{2\sqrt{\pi n}}{2^{8n}}=\lim_{n\to\infty}1=1.
    Cu bine,
    ghioknt

  22. marianstefi20

    Va multumesc foarte mult pentru sfaturi. Atat matematice si nu numai.
    Eu am marea tendinta, gresita uneori de a incerca sa rezolv pur si simplu problemele. De fapt, adesea nici nu am bagat raspunsurile in seama, considerand ca trebuie sa rezolv problema inainte de toate.

    Sa stiti ca prin raspunsurile dumneavoastra care porneau de la simpla dare de valori imi dau seama acum ca pot „rezolva” o intreaga gama de probleme ce inainte mi se pareau imposibile.

  24. ghioknt
    profesor

    Atenţie, eu am prezentat posibilitatea de a afla câte ceva despre un şir calculând primii termeni, doar ca pe o metodă
    eroică, de aplicat doar la disperare, când mai ai 10 minute şi 3 probleme. Nu abuza şi nu te baza pe ea la examen. O poţi folosi
    acum, când te pregăteşti pentru examen, doar pentru a-ţi măsura funcţionarea intuiţiei.
    Cu bine,
    ghioknt

  25. grapefruit
    maestru (V)

    Deontologia meseriei l-a facut pe domnul ghioknt sa o zica p-asta ! 🙂):D

    Eu zic mai bine sa se chinuie acum cand se pregateste cu rezolvarile si la examen sa incerce sa foloseasca orice siretlic in a o duce la capat !

Raspunde

Raspunde