Inregistrare

Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.

Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.

Aveti deja cont ? Login


Aveti deja cont ? Autentificare

Login

Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.

Inregistrare

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Resetare parola

V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.

Aveti deja cont ? Autentificare

Va rugam sa va autentificati.

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Please briefly explain why you feel this question should be reported.

Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.

Motivul pentru care raportezi utilizatorul.

LoginInregistrare

AniDeȘcoală.ro

AniDeȘcoală.ro Logo AniDeȘcoală.ro Logo

AniDeȘcoală.ro Navigation

  • TEME
  • FUN
  • SCOALA
  • DEX
  • PARENTING
CAUTA
PUNE O INTREBARE

Mobile menu

Inchide
PUNE O INTREBARE
  • HOME
  • TEME
    • Matematica
    • Limba romana
    •  Istorie
    •  Chimie
    • Biologie
    • Geografie
    •  Fizica
    • Informatica
    • Limbi straine
      • Engleza
      • Franceza
      • Germana
      • Altele
    • Diverse
    • Provocari
  • FUN
    • Povești pentru copii
      • Povesti nemuritoare
      • Povesti scurte cu talc
      • Alexandru Mitru
      • Anton Pann
      • Calin Gruia
      • Constanta Nitescu
      • Dumitru Almas
      • Elia David
      • Emil Garleanu
      • Grigore Alexandrescu
      • Ion Creanga
      • Ion Luca Caragiale
      • Marcela Penes
      • Marin Sorescu
      • Petre Ispirescu
      • Victor Eftimiu
      • Alti autori romani
      • Autori straini
        • Antoine de Saint Exupery
        • Charles Perrault
        • Edmondo de Amicis
        • Erika Scheuering
        • Esop
        • Felix Salten
        • Fraţii Grimm
        • Hans Christian Andersen
        • Jean de la Fontaine
        • Johanna Spyri
        • Lev Nicolaevici Tolstoi
        • Rudyard Kipling
        • Virginia Waters
        • Alti autori straini
    • Poezii
      • Grigore Vieru
      • Elena Farago
      • George Toparceanu
      • George Cosbuc
      • Mihai Eminescu
      • Nicolae Labis
      • Otilia Cazimir
      • Tudor Arghezi
      • Vasile Alecsandri
      • Alti autori
    • Stiati ca...
      • Romania
      • Sistemul solar
      • Plante
      • Animale
      • Superlative geografice
      • Altele
    • Citate celebre
    • Proverbe
    • Ghicitori
    • Glume si bancuri
    • Teste de cultura generala
    • Teste de personalitate
    • Probleme distractive
    • Activitati educative
    • Sfaturi practice
    • Planșe de colorat
    • Jocuri in aer liber
    • Abilitati practice
    • Jocuri distractive
    • Cantece pentru copii
    • Codul bunelor maniere
  • SCOALA
    • Matematica
      • Formule Algebra
      • Formule Geometrie
      • Formule Analiza
    • Gramatica
      • Stii sa scrii ?!
      • Părți de propoziție
      • Părți de vorbire
      • Cazurile
      • Sintaxa
      • Diverse
    • Limba romana
      • Bacalaureat
      • Abecedar
    • Cultura generala
  • IARNA
    • Colinde pentru copii
    • Povești de iarnă
    • Povești de Crăciun
    • Craciunul ... ce, cum, cand ?
  • DEX
  • PARENTING
  • PUNCTE SI RANGURI
  • FAQ
  • CONTACT
Home/ Intrebari/Q 86159
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

marianstefi20
marianstefi20user (0)
Pe: 2 aprilie 20142014-04-02T15:06:02+03:00 2014-04-02T15:06:02+03:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

Probleme limite de siruri – Admitere UTC Cluj

Buna ziua tuturor.
Va cer ajutorul pentru a putea rezolva niste probleme de admitere din Cartea de admitere de la Cluj, editia 2013.

Problema 393
 	\large \lim_{x \to \infty} n^2  \left(\frac{n^{1-a}(n+1)^a}{a+n}-1 \right)
Raspunsul este:  \frac{a(a-1)}{2}
Chiar nu pot intelege acest rezultat si nu pot ajunge la el. Am incercat sa scriu $n^{1-a} ca \frac{1}{n^{a-1}} = \frac{n}{n^a}$ si apoi sa fac cu e, dar ajung tot la nedeterminare.

Problema 396
 	\large  \lim_{n \to \infty} \frac{4^n(C_{4n}^{2n})^2}{C_{2n}^n C_{8n}^{4n}}
Raspunsul este: 1

Un mic ajutor ar fi tare apreciat!Multumesc.

  • 0
  • 1919
  • 0
  • Share
    • Share pe Facebook
    • Share pe Twitter
    • Share pe WhatsApp

Similare

  • Exercitiul nr 2
  • Puteti sa mă ajutați va rog frumos
  • Puteți sa îmi Rezolvați și explicati aceste ...
  • Bună seara! Am de studiat mărginirea șirului ...
  • Buna ziua. Am de comparat doua numere ...
  • Avem de depun la banca un capital ...

19 raspunsuri

  1. vTudor
    vTudor user (0)
    2014-04-02T16:04:32+03:00A raspuns pe 2 aprilie 2014 la 4:04 PM

    La primul exercitiu este (n^2) * (paranteza) sau n^[2*(paranteza)] ca nu se intelege foarte bine.

    • 0
    • Raspunde
  2. marianstefi20
    marianstefi20 user (0)
    2014-04-02T16:12:21+03:00A raspuns pe 2 aprilie 2014 la 4:12 PM

    vTudor wrote: La primul exercitiu este (n^2) * (paranteza) sau n^[2*(paranteza)] ca nu se intelege foarte bine.

    Este n^2

    • 0
    • Raspunde
  3. PhantomR
    PhantomR expert (VI)
    2014-04-02T16:14:14+03:00A raspuns pe 2 aprilie 2014 la 4:14 PM

    Salutari!! Nu se spune cumva ca a e natural 🙂?

    • 0
    • Raspunde
  4. marianstefi20
    marianstefi20 user (0)
    2014-04-02T16:49:39+03:00A raspuns pe 2 aprilie 2014 la 4:49 PM

    PhantomR wrote: Salutari!! Nu se spune cumva ca a e natural 🙂?

    Din pacate se spune doar ce am scris si in cerinta de mai sus. Sunt cam sumare cerintele, nespecificandu-se ce reprezinta fiecare necunoscuta.

    • 0
    • Raspunde
  5. PhantomR
    PhantomR expert (VI)
    2014-04-02T17:11:28+03:00A raspuns pe 2 aprilie 2014 la 5:11 PM

    Of:). Multumesc de informatie!!

    O idee de rezolvare ar fi sa incerci sa consideri expresia ca o functie in x („inlocuiesti” pe n cu x), aduci la celasi numitor, si bagi acel x^2 la numarator, apoi sa incerci sa prelucrezi expresia in asa fel incat sa poti aplica . Daca reusesti sa obtii rezultatul acela in acest mod, el va tine si pentru n natural, caci daca \lim_{x\to\infty}f(x)=L (a se interpreta x real), atunci \lim_{n\to\infty}f(n)=L (aici n e natural) (consecinta a Definitiei Heine (cu siruri) pentru limite de functii, aplicata pentru sirul a_n=n\to\infty).

    Din pacate, mie nu mi-a iesit, dar presupun ca se poate in acest mod.

    Ca o confirmare a rezultatului, eu am reusit sa obtin acel raspuns presupunand a natural si folosind Binomul lui Newton.

    • 0
    • Raspunde
  6. DD
    DD profesor
    2014-04-02T17:43:37+03:00A raspuns pe 2 aprilie 2014 la 5:43 PM

    L=lim(n->infinit)n^2.{[n^(1-a).(1+n)^a]/(a+n)-1}=
    lim(n->infinit)n^2{[(1+1/n)^a]/(1+a/n)-1}=
    lim(n->infinit)n^2{(1+C(a,1).(1/n)+C(a,2).(1/n^2)+C(a,3).(1/n^3)+ …+C(a,a).(1/n^n)-1-a/n}/(1+a/n)=lim(x->infinit)n^2{C(a,2)(1/n^2)+C(a,3)
    .(1/n^3)+…..+C(a,a).(1/n^n)}/(1+a/n)=lim(n->infinit){C(a,2)+C(a,3).(1/n)+
    ….C(a,a).(1/n^(n-2))}/(1+a/n)->C(a,2)=a(a-1)/2

    • 0
    • Raspunde
  7. PhantomR
    PhantomR expert (VI)
    2014-04-02T17:58:21+03:00A raspuns pe 2 aprilie 2014 la 5:58 PM

    Pentru cazul a natural am facut si eu cam asa (posibil sa seamene mult cu ce a facut domnul DD):

    \frac{n^3(1+\frac{1}{n})^a-n^3-an^2}{a+n}=\frac{n^3(1+C_a^1\frac{1}{n}+C_a^2\frac{1}{n^2}+C_a^3\frac{1}{n^3}+...)-n^3-an^2}{a+n}=\frac{n^3+an^2+\frac{a(a-1)}{2}n+...-n^3-an^2}{a+n}=\frac{\frac{a(a-1)}{2}n+...}{n+a}=\frac{\frac{a(a-1)}{2}n}{n+a}+\frac{...}{n+a}\to\frac{a(a-1)}{2}+\frac{0}{\infty}=\frac{a(a-1)}{2}

    • 0
    • Raspunde
  8. marianstefi20
    marianstefi20 user (0)
    2014-04-02T18:08:53+03:00A raspuns pe 2 aprilie 2014 la 6:08 PM

    Cu l’Hopital da ceva foarte complicat la mine, dar dupa pagini de calcule raman cu o relatie gresita dar care daca nu ar fi un -n ar iesi ca la raspuns. Sunt convins ca pe undeva prin acele foi se gaseste eventuala greseala.Deci cu l’Hopital e foarte posibil sa mearga. Totusi cred ca voi merge pe o rezolvare cu a natural, caci mi se pare mult prea complicata abordarea cu l’hopital(cel putin a mea).

    Mersi mult Alex!

    • 0
    • Raspunde
  9. PhantomR
    PhantomR expert (VI)
    2014-04-02T19:32:19+03:00A raspuns pe 2 aprilie 2014 la 7:32 PM

    Cu multa placere! La mine marea problema era ca aparent nu reuseam sa fac nedeterminare \frac{\infty}{\infty}, caci sus imi iesea o limita \infty \cdot 0. Am sa mai intreb si eu si in caz ca primesc vreun raspuns am sa iti spun. ^_^

    • 0
    • Raspunde
  10. DD
    DD profesor
    2014-04-02T20:02:23+03:00A raspuns pe 2 aprilie 2014 la 8:02 PM

    Pentru domnul ”marianstefi20″”Limitei in cauza nu i se poate aplica L’Hospital
    pentru ca expresia nu este o functie de x -variabila continua ci este functie de
    n-variabila discreta (numere naturale) si expresia este discreta iar ca functie este discontinua

    • 0
    • Raspunde
  11. PhantomR
    PhantomR expert (VI)
    2014-04-02T20:06:46+03:00A raspuns pe 2 aprilie 2014 la 8:06 PM

    @domnul DD: Va multumesc pentru atentionare! Eu din pacate am omis acest important detaliu..

    Daca as putea sa va intreb, cum ati studiat continuitatea?

    • 0
    • Raspunde
  12. ghioknt
    ghioknt profesor
    2014-04-02T20:13:23+03:00A raspuns pe 2 aprilie 2014 la 8:13 PM

    Pe ideea domnului PhantomR, eu aş scrie aşa:
    a_n=n^2\left ( \frac{\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^a}{1+\frac{a}{n}}-1 \right )=\frac{(1+\frac{1}{n})^a-1-\frac{a}{n}}{\frac{1}{n^2}+\frac{a}{n^3}}=f(\frac{1}{n}),
    unde f(x)=\frac{\left ( 1+x \right )^a-1-x}{x^2+ax^3};\;\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\frac{a(1+x)^{a-1}-a}{2x+3ax^2}=\lim_{x\to 0}\frac{a(a-1)(1+x)^{a-2}}{2+6ax}=\frac{a(a-1)}{2}\;etc.
    Cu bine,
    ghioknt

    • 0
    • Raspunde
  13. PhantomR
    PhantomR expert (VI)
    2014-04-02T21:17:35+03:00A raspuns pe 2 aprilie 2014 la 9:17 PM

    Foarte frumos! Va multumesc! ^_^

    • 0
    • Raspunde
  14. ghioknt
    ghioknt profesor
    2014-04-06T14:50:24+03:00A raspuns pe 6 aprilie 2014 la 2:50 PM

    Nu cumva problemele de admitere sunt cu răspunsuri la alegere? Dacă da, dă-ne şi lista de răspunsuri, nu ne obliga să ne
    chinuim cu ceeace crezi tu că este enunţul problemei: calculaţi limita … Adevăratul enunţ este: eliminaţi răspunsurile aberante
    din urmatoarea listă.
    Chiar şi la prima problemă, aş calcula limita pentru a=3 să zicem, aş obţine limita 3 şi dacă singurul
    răspuns din lista de răspunsuri care dă această valoare este a(a-1)/2, am rezolvat problema. Dacă am ghinion, mai incerc
    cu altă valoare.
    Să abordez şi al doilea exerciţiu, în aceeaşi idee, dar aici am nevoie de nişte pregătiri.
    \frac{(2n)!}{n!}=\frac{(2n)!!(2n-1)!!}{n!}=\frac{2n(2n-2)...\cdot 2\cdot(2n-1)(2n-3)...\cdot1}{n!}=2^n\cdot (2n-1)!!\Rightarrow C_{2n}^n=\frac{2^n\cdot (2n-1)!!}{n!}.
    a_n=2^{2n}\cdot \frac{2^{2n}\cdot (4n-1)!!}{(2n)!}\cdot \frac{2^{2n}\cdot (4n-1)!!}{(2n)!}\cdot \frac{n!}{2^n\cdot (2n-1)!!}\cdot \frac{(4n)!}{2^{4n}\cdot (8n-1)!!}=\frac{2^n\cdot (4n-1)!!}{(2n)!}\cdot \frac{(4n-1)!!}{(2n)!}\cdot \frac{n!}{(2n-1)!!}\cdot \frac{(4n)!}{(8n-1)!!}=
    =\frac{2^n\cdot (4n-1)!!}{2^n(2n-1)!!}\cdot \frac{(4n-1)!!}{1}\cdot \frac{1}{(2n-1)!!}\cdot \frac{2^{2n}(4n-1)!!}{(8n-1)!!}=\frac{[2^n(4n-1)...(2n+1)]^2}{(8n-1)(8n-3)...(4n+1)}=
    =\frac{[(8n-2)(8n-6)...(4n+2)]^2}{(8n-1)(8n-3)...(4n+1)}=\frac{(8n-2)^2}{(8n-1)(8n-3)}\cdot \frac{(8n-6)^2}{(8n-5)(8n-7)}\cdot ...\cdot \frac{(4n+2)^2}{(4n+3)(4n+1)}>1
    pentru că fiecare fracţie este supraunitară (din inegalitatea mediilor, de exemplu).
    Şirul este descrescător: \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(8n+6)^2}{(8n+7)(8n+5)}\cdot \frac{(8n+2)^2}{(8n+3)(8n+1)}\cdot \frac{(4n+3)(4n+1)}{(4n+2)^2}=
    =\frac{4[(4n+3)(4n+1)]^3}{(8n+7)(8n+1)(8n+5)(8n+3)(2n+1)^2}=\frac{4(4c+3)^3}{(16c+7)(16c+15)(c+1)}=\frac{256c^3+576c^2+432c+108}{256c^3+608c^2+457c+105}<1
    unde c=4n^2+4n. Dar primul termen este 36/35, deci limita şirului aparţine intervalului [1; 36/35).
    Orice răspuns care nu se încadrează aici trebuie eliminat.
    Cu bine,
    ghioknt

    • 0
    • Raspunde
  15. marianstefi20
    marianstefi20 user (0)
    2014-04-06T17:07:43+03:00A raspuns pe 6 aprilie 2014 la 5:07 PM

    Imi cer scuze pentru lipsa de detalii. Din pacate, chiar numai ce am scris eu este enuntul in sine, iar variantele de raspuns la problema cu combinari sunt:

     	A.\sqrt[3]{2} \\ 	B.\sqrt[3]{4} \\ 	C.1 \\ 	D.\frac{1}{2} \\ 	E. \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \\

    Raspunsul corect este C.

    Domnule ghioknt, tin sa va multumesc foarte mult pentru rezolvarea ce ati facut-o la problema cu combinari…chiar foarte interesanta rezolvare.

    • 0
    • Raspunde
  16. ghioknt
    ghioknt profesor
    2014-04-06T19:37:04+03:00A raspuns pe 6 aprilie 2014 la 7:37 PM

    Iată, am avut dreptate. Dacă socotelile mele sunt corecte, atunci am rezolvat problema. Primele 2 răspunsuri nu pot fi limita
    şirului pentru că sunt > 36/35, iar ultimele 2, pentru că sunt < 1. Deci voi bifa C. Dacă tu nu spui şi răspunsurile la alegere,
    atunci îi obligi pe cei care vor să te ajute să rezolve o problemă mult mai grea, adică să demonstreze efectiv că limita este 1.
    Cu ce am greşit ca sa fim astfel pedepsiţi? La examen tu ai un timp limitat pentru un numar relativ mare de probleme.
    Scopul tau este să intri la facultate, nu să rezolvi problemele; pentru asta trebuie să-ţi foloseşti cunoştinţele şi abilităţile în
    domeniul matematicii pentru a depista cât mai repede răspunsul corect. Pentru acest exerciţiu, în sala de examen, este
    suficient să calculezi 2 – 3 termeni şi să-ţi dai seama cât de apropiaţi sunt între ei şi faţă de 1 ca să-ţi dai seama că trebuie bifat C.
    Formula lui Stirling: \lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi}}=1.
    Iată cum se utilizează acest rezultat: Fie\;a_n=n!E(n);\;\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi}}\cdot n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi}E(n)=1\cdot \lim_{n\to\infty}n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi}E(n),
    adică în expresia lui a_n se înlocuieşte n!\;cu\;n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi}, apoi se calculează limita.
    Pentru că şirul nostru conţine multe factoriale, voi costrui câteva prefabricate.
    C_{2n}^n=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\approx\frac{(2n)^{2n}e^{-2n}\sqrt{4n\pi}}{[n^ne^{-n}\sqrt{2n\pi}]^2}=\frac{2^{2n}}{\sqrt{\pi n}}\Rightarrow C_{4n}^{2n}\approx \frac{2^{4n}}{\sqrt{2\pi n}};\;C_{8n}^{4n}\approx \frac{2^{8n}}{2\sqrt{\pi n}}.
    \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}2^{2n}\cdot\frac{2^{8n}}{2\pi n}\cdot\frac{\sqrt{\pi n}}{2^{2n}}\cdot\frac{2\sqrt{\pi n}}{2^{8n}}=\lim_{n\to\infty}1=1.
    Cu bine,
    ghioknt

    • 0
    • Raspunde
  17. marianstefi20
    marianstefi20 user (0)
    2014-04-06T21:00:54+03:00A raspuns pe 6 aprilie 2014 la 9:00 PM

    Va multumesc foarte mult pentru sfaturi. Atat matematice si nu numai.
    Eu am marea tendinta, gresita uneori de a incerca sa rezolv pur si simplu problemele. De fapt, adesea nici nu am bagat raspunsurile in seama, considerand ca trebuie sa rezolv problema inainte de toate.

    Sa stiti ca prin raspunsurile dumneavoastra care porneau de la simpla dare de valori imi dau seama acum ca pot „rezolva” o intreaga gama de probleme ce inainte mi se pareau imposibile.

    • 0
    • Raspunde
  18. ghioknt
    ghioknt profesor
    2014-04-07T18:14:31+03:00A raspuns pe 7 aprilie 2014 la 6:14 PM

    Atenţie, eu am prezentat posibilitatea de a afla câte ceva despre un şir calculând primii termeni, doar ca pe o metodă
    eroică, de aplicat doar la disperare, când mai ai 10 minute şi 3 probleme. Nu abuza şi nu te baza pe ea la examen. O poţi folosi
    acum, când te pregăteşti pentru examen, doar pentru a-ţi măsura funcţionarea intuiţiei.
    Cu bine,
    ghioknt

    • 0
    • Raspunde
  19. grapefruit
    grapefruit maestru (V)
    2014-04-07T18:56:49+03:00A raspuns pe 7 aprilie 2014 la 6:56 PM

    Deontologia meseriei l-a facut pe domnul ghioknt sa o zica p-asta ! 🙂):D

    Eu zic mai bine sa se chinuie acum cand se pregateste cu rezolvarile si la examen sa incerce sa foloseasca orice siretlic in a o duce la capat !

    • 0
    • Raspunde
Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul


Sidebar

PUNE O INTREBARE
  • IARNA
    • Colinde pentru copii
    • Povești de iarnă
    • Povești de Crăciun
    • Craciunul ... ce, cum, cand ?
  • FUN
    • Povești pentru copii
    • Povesti scurte cu talc
    • Povesti nemuritoare
    • Poezii
    • Stiati ca...
    • Citate celebre
    • Proverbe
    • Ghicitori
    • Glume si bancuri
  • SCOALA
    • Matematica
      • Formule Algebra
      • Formule Geometrie
      • Formule Analiza
    • Stii sa scrii ?!
    • Comentarii si rezumate
    • Cultura generala

Explore

  • Matematica
  • Limba romana
  •  Istorie
  •  Chimie
  • Biologie
  • Geografie
  •  Fizica
  • Informatica
  • Limbi straine
    • Engleza
    • Franceza
    • Germana
    • Altele
  • Diverse
  • Provocari

Footer

Despre noi

Platforma educationala pentru copii, parinti si profesori. Pune intrebari si primeste raspunsuri de la profesori si utilizatori experimentati. Transmite sugestii, povesti, articole etc.

Utile

  • Puncte si Ranguri
  • FAQ
  • Termeni și condiţii
  • Contact

Proiecte

  • Parenting
  • Dictionar explicativ
  • Matematica
  • Gramatica limbii romane
  • Trafic

Statistici

  • Intrebari : 30.780
  • Raspunsuri : 70.001
  • Best Answers : 398
  • Articole : 5.238
  • Comentarii : 15.486

Inserează/editează legătura

Introdu URL-ul de destinație

Sau leagă-te la conținutul existent

    Nu ai specificat niciun termen de căutare. Arăt elementele recente. Căută sau folosește tastele săgeată sus și jos pentru a selecta un element.