Home/ Intrebari/Q 86050
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

grigore.sara
user (0)
Pe: 2014-03-26T11:16:24+02:00 In: In:

o functie nu e polinomiala

Aratati ca functia f:R->R cu f(x)=ln(1+x^2) nu este polinomiala.

Similare

3 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Sa presupunem ca functia ar fi polinomiala. Atunci ea nu este identic nula (caci, de exemplu, f(1)=\ln 2\neq 0), deci are cel puti un coeficient nenul. Fie f(x)=a_nx^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,a_n\neq 0, unde n\geq 0.

    Avem 0\leq \ln (1+x^2) \leq x^2 pentru orice x real, Daca n\geq 3. Atunci pentru x>0 obtinem 0\leq \frac{\ln (1+x^2)}{x^n}\leq \frac{1}{x^{n-2}}, de unde \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x^n}=0, fals, caci \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x^n}=a_n\neq 0. Deci n\leq 2, adica f e polinomiala de grad cel mult 2. Aceasta inseamna ca a doua derivata a functiei f ar trebui sa fie constanta. Sa aratam ca acest lucru nu se intampla.

    Avem f'(x)=\frac{1}{1+x^2}\cdot (1+x^2)'=\frac{2x}{1+x^2}, iar f''(x)=\frac{2(1+x^2)-2x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}, despre care se vede ca nu este constanta (de exemplu, f(1)=0,f(0)=2 \Rightarrow f(1)\neq f(0)).

    In concluzie, functia data nu este polinomiala.

    NOTA: Am folosit inegalitatea \ln (1+y)\leq y,\forall y\geq 0. Demonstratia acesteia se poate face considerand g:[0;\infty)\to\mathbb{R},g(y)=\ln(1+y)-y si aflandu-i punctele de extrem.

    PRECIZARE: Daca cunoasteti , putem rezolva mai repede: Daca n\geq 1 avem \lim_{x\to\infty} \frac{\ln (1+x^2)}{x^n} = \frac{2x}{(1+x^2)nx^{n-1}}=0, deci n<1 \Rightarrow n=0, adica f ar trebui sa fie constanta. Dar acest lucru nu este adevarat, caci putem vedea ca f(0)=0, f(1)=\ln 2 \Rightarrow f(0)\neq f(1).

    • 0
  2. grapefruit
    maestru (V)

    Domnule PhantomR,am si eu o nelamurire, dupa ce ati aplicat Regula lui l’Hôpital si v-a dat limita 0 din asta de ce rezulta ca n<1?

    edit: cred ca justificarea este acesta f(x)/x^n limita asta trb sa fie dif de 0 si cum am obtinut o contradictie rezulta ca n nu este >=1 deci este n<1 si cum n este numar natural rezulta ca singura val poate fi n=0.

    • 0
  4. PhantomR
    expert (VI)

    Asa este, pentru o functie polinomiala f de grad n, limita \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x^n} returneaza coeficientul dominant.

    Va multumesc pentru inrebare! Cred ca ar trebui sa fac niste mici ajustari.. gen ar trebui sa presupun ca functia nu e identic nula, deci ca exista un coeficient nenul. Am sa editez celalalt post.

    • 0
Raspunde

Raspunde