Home/ Intrebari/Q 86031
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Sherlock
user (0)
Pe: 2014-03-24T17:22:36+02:00 In: In:

Sirul lui Rolle

Buna seara. Ma puteti ajuta, va rog, cu doua probleme legate de Sirul lui Rolle?

1. Sa se arate ca polinomul Pn(x) = x^{n+1} - ( x^{n-1} + x^{n-2} + ... + x + 1 ) are o singura radacina reala pozitiva pe care o notam cu an. Sa se arate ca sirul (an) are limitia (1+sqrt5) / 2.

2. Sa se arate ca daca x,y,z apartin R, x+y+z = 2 si xy + yz + zx = 1, atunci x,y,z apartin intervalului [ 0, 4/3].

Multumesc anticipat.

Similare

3 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Pentru orice a în (0; 1), a^(n+1)<a^n, deci P_n(a)<0; polinoamele P_n nu au rădăcini în (0; 1). P_1 are a_1=1.
    Pt. n>1, P_n(1)=1-n<0, iar P_n(2)=2^(n+1)-(2^n-1)>0; deci aceste polinoame au rădăcini în (1; 2).
    Pentru unicitate, consider polinoamele Q_n(x)=(x-1)P_n(x), \;n\geq 2, care în (1; oo) au aceleaşi rădăcini cu P_n.
    Q_n(x)=x^{n+2}-x^{n+1}-x^n+1\;are\;Q'_n(x)=x^{n-1}[(n+2)x^2-(n+1)x-n] cu 3 rădăcini distincte: 0, una negativă
    şi doar una care ne interesează, b_n=\frac{n+1+\sqrt{5(n+1)^2-4}}{2(n+2)}.
    Nu e greu de arătat că 1<b_n<2, iar din situaţia semnelor lui Q’_n pe (0; oo) deducem că b_n este punct de minim pt. Q_n,
    deci Q_n(b_n)<Q_n(1)=0, Q_n este strict crescător pe (0; oo), Q_n(oo)=oo, adică Q_n (şi în consecinţă P_n) are o singură
    rădăcină a_n în (1; oo), de fapt în (1; 2).
    Cele de mai sus fiind adevărate pentru orice n>1, am obţinut că rădăcinile şirului de polinoame formează un şir mărginit.
    Pentru monotonie să observăm că P_{n+1}(x)=xP_n(x)-1\Rightarrow P_{n+1}(a_n)=a_nP_n(a_n)-1=-1;\;cum\;P_{n+1}(2)>0\; avem\;a_{n+1}>a_n,
    deci şirul este şi crescător, deci convergent la o limita l.
    Q_n(a_n)=0\Rightarrow a_n^{n+2}-a_n^{n+1}-a_n^n+1=0\Rightarrow a_n^2-a_n-1+\frac{1}{a_n^n}=0;\;la\;limita:\;l^2-l-1=0,
    deci l nu poate avea decât valoarea anunţată.
    Cu bine,
    ghioknt

    • 0
  2. ghioknt
    profesor

    Fie xzy=p. Relaţiile lui Viete ne spun că x, y şi z sunt rădăcinile polinomului de gradul 3 f(t)=t^3-2t^2+t-p.
    Ecuaţia f'(t)=0 are rădăcinile 1/3 şi 1. f are 3 rădăcini reale, distincte, dacă şi numai dacă cei 4 termeni ai şirului lui Rolle asociat
    intervalului (-oo; +oo) prezintă 3 variaţii de semn. Cum limitele la capete sunt -oo, respectiv, +oo, mai trebuie să avem
    f(\frac{1}{3})> 0,\;f(1)< 0\;din\;care\;deducem\;0< p< \frac{4}{27}.
    Să vedem cât putem restrânge cele 2 intervale nemărginite.
    f(0)=-p<0 şi f(1/3)>0, deci cea mai mică rădăcină este în intervalul (0;1/3).
    f(4/3)=4/27-p>0 şi f(1)<0, deci cea mai mare rădăcină este în (1; 4/3).
    În concluzie, toate rădăcinile sunt în intervalul (0; 4/3),
    Dacă p=0 sau p=4/27 cele 3 rădăcini nu mai sunt distincte; ele sunt 0, 1, 1, respectiv 1/3, 1/3, 4/3, dar tot se încadrează în
    intervalul închis [0; 4/3].
    Cu bine,
    ghioknt

    • 0
  4. grapefruit
    maestru (V)

    Am si eu o intrebare legata de monotonie,caci nu am inteles-o.

    Relatia P_n+1(a_n) vrea sa zica a_n care este radacina pt toate polinoamele P_n nu este radacina pt polinoamele P_n+1 si in plus valoarea polinoamelor in aceste puncte este -1,iar valoarea polinoamelor in punctul 2 este mai mare ca >0 ,dar nu inteleg cum ati dedus ca a_n+1>a_n.

    • 0
Raspunde

Raspunde