Home/ Intrebari/Q 85910
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Alexandru Stef
user (0)
Pe: 2014-03-17T20:39:53+02:00 In: In:

Euclid

Aratati ca (2 la puterea 1999 + 1997 la puterea 1999) este divizibil cu 1999.
Multumesc anticipat

Similare

3 raspunsuri

  1. Green eyes
    maestru (V)

    Salut,

    Ştim că:

    \bl a^{\small n}+b^{\small n}=(a+b)\cdot(a^{\small n-1}-a^{\small n-2}\cdot b+a^{\small n-3}\cdot b^{\small 2}-...-a\cdot b^{\small n-2}+b^{\small n-1})

    Desfă parantezele din membrul drept, redu termenii asemenea şi vei obţine exact suma din membrul stâng.

    Deci:

    \bl 2^{\small 1999}+1997^{\small 1999}=(2+1997)\cdot(2^{\small 1998}-2^{\small 1997}\cdot 1997+2^{\small 1996}\cdot 1997^{\small 2}-...-2\cdot 1997^{\small 1997}+1997^{\small 1998})=1999\cdot(2^{\small 1998}-2^{\small 1997}\cdot 1997+2^{\small 1996}\cdot 1997^{\small 2}-...-2\cdot 1997^{\small 1997}+1997^{\small 1998}), deci suma din enunţ este multiplu de 1999, adică este divizibilă cu 1999.

    Ai înţeles ?

    Green eyes.

    • 0
  2. Alexandru Stef
    user (0)

    Da, dar la clasa a VI-a nu am invatat inca formula pe care ai aplicat-o tu. Cel putin nu la scoala la care invat eu.

    • 0
  4. bedrix
    expert (VI)

    Din cerinta 2^1999 + 1997^1999 este divizibil cu 1999 rezulta ca trebuie sa demonstram ca 2^1999 + 1997^1999 = M1999

    Analizam analizam restul impartirii (2^1999):1999
    Stim ca 2^11=2048
    2^1999=2^(11*181+8)=256*(2048)^181=256(1999+49)^181=256*(M1999 + 49^181)=M1999 +256*49*(49^2)^90=M1999 + (6*1999+550)*(1999+402)^90 = M1999 + 550*402^90=M1999 + 550*(80*1999+1684)^45=M1999+550*1684*(1684^2)^22=M1999 + (1999*463+663)(1999*1418+1274)^22 =M1999 + 663*(1274^2)^11= M1999 + 663*(811*1999+1887)^11= M1999 + 663*1887*(1887^2)^5= M1999 + (1999*625+1706)*(1999*1781+550)^5=M1999 + (1706*550)*(550^2)^2= M1999 + (1999*469+769)*(1999*151+651)^2= M1999 + 769*651^2=M1999+2 (1)
    Analizam analizam restul impartirii (1997^1999):1999
    1997^1999=1997*(1997^2)^999=1997*(1999*1995+4)^999=M1999+1997*4^999= M1999+1997*2^1998 (2)
    Din (1) avem 2^1999=M1999+2=1999*k+2 deci M2=1999*k+M2 rezulta k=M2=2p , unde k,p E N* , rezulta 2^1999=1999*2p+2 |:2 rezulta 2^1998 = 1999*p +1 =M1999 +1 , inlocuim in (2)
    1997^1999 =M1999 +1997*(M1999+1) =M1999 +1997 (3)
    Din (1) + (3) avem 2^1999 + 1997^1999 =M1999 +2 + M1999 +1997 =M1999

    Nota : am folosit formula (a+b)^n=Ma + b^n , unde Ma=multiplu de a

    • 0
Raspunde

Raspunde