Inregistrare

Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.

Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.

Aveti deja cont ? Login


Aveti deja cont ? Autentificare

Login

Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.

Inregistrare

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Resetare parola

V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.

Aveti deja cont ? Autentificare

Va rugam sa va autentificati.

Resetare parola?

Nu aveti cont ? Inregistrare

Please briefly explain why you feel this question should be reported.

Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.

Motivul pentru care raportezi utilizatorul.

LoginInregistrare

AniDeȘcoală.ro

AniDeȘcoală.ro Logo AniDeȘcoală.ro Logo

AniDeȘcoală.ro Navigation

  • TEME
  • FUN
  • SCOALA
  • DEX
  • PARENTING
CAUTA
PUNE O INTREBARE

Mobile menu

Inchide
PUNE O INTREBARE
  • HOME
  • TEME
    • Matematica
    • Limba romana
    •  Istorie
    •  Chimie
    • Biologie
    • Geografie
    •  Fizica
    • Informatica
    • Limbi straine
      • Engleza
      • Franceza
      • Germana
      • Altele
    • Diverse
    • Provocari
  • FUN
    • Povești pentru copii
      • Povesti nemuritoare
      • Povesti scurte cu talc
      • Alexandru Mitru
      • Anton Pann
      • Calin Gruia
      • Constanta Nitescu
      • Dumitru Almas
      • Elia David
      • Emil Garleanu
      • Grigore Alexandrescu
      • Ion Creanga
      • Ion Luca Caragiale
      • Marcela Penes
      • Marin Sorescu
      • Petre Ispirescu
      • Victor Eftimiu
      • Alti autori romani
      • Autori straini
        • Antoine de Saint Exupery
        • Charles Perrault
        • Edmondo de Amicis
        • Erika Scheuering
        • Esop
        • Felix Salten
        • Fraţii Grimm
        • Hans Christian Andersen
        • Jean de la Fontaine
        • Johanna Spyri
        • Lev Nicolaevici Tolstoi
        • Rudyard Kipling
        • Virginia Waters
        • Alti autori straini
    • Poezii
      • Grigore Vieru
      • Elena Farago
      • George Toparceanu
      • George Cosbuc
      • Mihai Eminescu
      • Nicolae Labis
      • Otilia Cazimir
      • Tudor Arghezi
      • Vasile Alecsandri
      • Alti autori
    • Stiati ca...
      • Romania
      • Sistemul solar
      • Plante
      • Animale
      • Superlative geografice
      • Altele
    • Citate celebre
    • Proverbe
    • Ghicitori
    • Glume si bancuri
    • Teste de cultura generala
    • Teste de personalitate
    • Probleme distractive
    • Activitati educative
    • Sfaturi practice
    • Planșe de colorat
    • Jocuri in aer liber
    • Abilitati practice
    • Jocuri distractive
    • Cantece pentru copii
    • Codul bunelor maniere
  • SCOALA
    • Matematica
      • Formule Algebra
      • Formule Geometrie
      • Formule Analiza
    • Gramatica
      • Stii sa scrii ?!
      • Părți de propoziție
      • Părți de vorbire
      • Cazurile
      • Sintaxa
      • Diverse
    • Limba romana
      • Bacalaureat
      • Abecedar
    • Cultura generala
  • IARNA
    • Colinde pentru copii
    • Povești de iarnă
    • Povești de Crăciun
    • Craciunul ... ce, cum, cand ?
  • DEX
  • PARENTING
  • PUNCTE SI RANGURI
  • FAQ
  • CONTACT
Home/ Intrebari/Q 85901
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

grapefruit
grapefruitmaestru (V)
Pe: 17 martie 20142014-03-17T16:04:11+02:00 2014-03-17T16:04:11+02:00In: MatematicaIn: Clasele IX-XII

cum se demonstreaza un tip acest tip de problema

Daca am o multime care contine matrici de un anumit ordin cu o anumita propietate, daca imi zice sa arat ca acea multime este infinita se fixeaza o matrice A care apartine multimii si se arata inductiv ca A ,A^2 … A^n apartine multimii , A^i=A^j (=) A ^i-j=I (si aici apare contradictia adica nu exista nici o putere la care ridicat A sa dea matricea unitate ).Asa se rezolva aceste tipuri de exercitii?

  • 1
  • 66
  • 0
  • Share
    • Share pe Facebook
    • Share pe Twitter
    • Share pe WhatsApp

Similare

  • Care este cifra cu care se termina ...
  • ma  puteți ajuta cu problema aceasta? Legi ...
  • Exercitiul nr 2
  • Puteti sa mă ajutați va rog frumos
  • Puteți sa îmi Rezolvați și explicati aceste ...
  • Bună seara! Am de studiat mărginirea șirului ...

6 raspunsuri

  1. PhantomR
    PhantomR expert (VI)
    2014-03-17T16:21:41+02:00A raspuns pe 17 martie 2014 la 4:21 PM

    Nu se poate scrie ca A^i=A^j\Rightarrow A^{i-j}=I decat daca se cunoaste faptul ca matricea A este inversabila. In acest caz, merge un astfel de argument in ipoteza ca puteti demonstra ca A^n\neq I,\forall n\geq 1. Totusi, probabil sunt si alte metode de a arata ca multimea e infinita. Care e concret exercitiul?

    • 0
    • Raspunde
  2. grapefruit
    grapefruit maestru (V)
    2014-03-17T19:27:56+02:00A raspuns pe 17 martie 2014 la 7:27 PM

    Aveti dreptate la un punct anterior te pune sa demonstrezi B^n != I_2 insa as fi interesat de acest punct.

    Deci fie multimea G= ( a b
    3b a cu prop ca a^2-3b^2=1 ,a ,b apartin Q.

    Sa se arate ca daca B apartine G cu a>0 b>0 atunci B^n != I2 si ca G este infinita.

    • 0
    • Raspunde
  3. PhantomR
    PhantomR expert (VI)
    2014-03-17T20:39:23+02:00A raspuns pe 17 martie 2014 la 8:39 PM

    Am reusit intr-un final. Sa presupunem ca exista un n,n\geq 2 astfel incat B^n=I_2. Atunci B^n-I_2=0 \Leftrightarrow (B-I_n)(B^{n-1}+B^{n-2}+...+B+I_2)=0 (*). Vom arata ca matricea B-I_n este inversabila.

    Intr-adevar, \det(B-I_n)=(a-1)^2-3b^2=a^2-3b^2-2a+1=1-2a+1=2(1-a)=0 \Leftrightarrow a=1. Dar a=1 si a^2-3b^2=1 \Rightarrow b=0, fals. Deci B-I_n este inversabila si inmultind egalitatea (*) cu inversa sa, rezulta B^{n-1}+B^{n-2}+...+B+I_2=0. Sa aratam ca aceasta este imposibil.

    Vom arata ca elementele lui B^k sunt >0, \forall k\geq 1. Pentru k=1 e adevarat din ipoteza asupra lui B. Presupunem ca e adevarat pentru B^n si sa notam B^n= \left(  x \ y \\ z \ t \right). Atunci B^{n+1} = \left( ax+bz \ ay+bt \\ 3bx+az \ 3by+at \right) care are elementele >0 si deci demonstratia prin inductie e incheiata.

    Revenind acum la B^{n-1}+...+I_2=0, cum matricele din membrul stang au fiecare elemente strict pozitive, atunci si suma lor va avea tot elementele strict pozitive, deci egalitatea anterioara este imposibila, matricea 0 avand toate elementele nule.

    In concluzie, presupunerea ca ar exista un numar natural n\geq 2 cu B^n=I_2 a condus la contradictie. Aceasta inseamna ca B^n\neq I_2,\forall n\geq 2. Mai ramane sa aratam ca B\neq I_2. Intr-adevar, aceasta ar insemna a=b=0, dar 0^2-3\cdot 0^2=0\neq 1, fals. Asadar, B^n\neq I_2,\forall n\geq 1.

    • 2
    • Raspunde
  4. ghioknt
    ghioknt profesor
    2014-03-18T15:03:36+02:00A raspuns pe 18 martie 2014 la 3:03 PM

    Voi încerca şi eu o demonstraţie, devansând un pic cunoştinţele pe care le vei dobândi în clasa a XII-a.
    Pentru claritatea expunerii, prefer să notez cu M(a,b) un element oarecare al mulţimii G.
    1) Consider mulţimea H\subset \mathbb{R},\;H=\{a+b\sqrt{3}|a,\,b\in\mathbb{Q};\;a^2-3b^2=1\} şi funcţia f:G\to H,\;f(M(a,b))=a+b\sqrt{3}.
    E uşor de demonstrat că această funcţie este bijectivă, voi vedea dacă am nevoie pe parcursul demonstraţiei de asta.
    2) \forall M(a,b),\,M(a',b')\in G: M(a,b)\cdot M(a',b')\in G\;si\;f(M(a,b)\cdot M(a',b'))=f(M(a,b))\cdot f(M(a',b')).
    Intr-adevar M(a,b)\cdot M(a',b')=\left(\begin{matrix}aa'+3bb'&ab'+ba'\\3(ab'+ba')&aa'+3bb'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}u&v\\3v&u\end{matrix}\right)\;unde\;u,v\in \mathbb{Q},
    iar u^2-3v^2=\det((M(a,b)\cdot M(a',b'))=\det((M(a,b))\cdot \det(M(a',b'))=(a^2-3b^2)(a'^2-3b'^2)=1\cdot 1=1.
    f(M(a,b)\cdot M(a',b'))=(ab'+ba')+(aa'+3bb')\sqrt{3}=(a+b\sqrt{3})(a'+b'\sqrt{3})=f(M(a,b))\cdot f(M(a',b')).
    3) Folosind asociativitatea înmulţirii matricelor sau numerelor reale precum şi cele demonstrate la 2), avem:
    M(a,b)\in G\Rightarrow (M(a,b))^n\in G,\;f((M(a,b))^n)=[f(M(a,b))]^n
    Obs. Prima concluzie nu trebuie să lipsească din nicio demonstraţie, căci dacă puterile lui M(a,b) se gândesc să părăsească
    G, degeaba sunt ele în număr infinit, G nu se poate baza pe ele pentru a-şi dovedi infinitatea.
    4) Presupunem că există b nenul şi n natural a. i. [M(a,b)]^n=I_2. avem:
    1=f(M(1,0))=f(I_2)=f((M(a,b))^n)=[f(M(a,b))]^n=(a+b\sqrt{3})^n\Rightarrow a+b\sqrt{3} este o rădăcină reală
    de ordinul n a unităţii; dar singurele posibile sunt 1 şi -1. Ori din a+b\sqrt{3}=\pm1\,si \;b\neq 0\rightarrow \sqrt{3}\in \mathbb{Q}.
    În demonstraţie nu am folosit ipoteza a,b>0 ci doar că b este nenul.
    Cu bine,
    ghioknt

    • 1
    • Raspunde
  5. grapefruit
    grapefruit maestru (V)
    2014-03-19T18:03:58+02:00A raspuns pe 19 martie 2014 la 6:03 PM

    Domnule ghioknt , ce ati vrut sa aratati prin acesta demonstratie? o alta metoda sau faptul ca ipoteza ne datea mai multe informatii de care aveam nevoie?

    • 0
    • Raspunde
  6. ghioknt
    ghioknt profesor
    2014-03-19T20:59:43+02:00A raspuns pe 19 martie 2014 la 8:59 PM

    Şi una şi alta.
    Consider că dacă la o problemă sunt prezentate 2 sau mai multe soluţii, cititorii lor nu au decât de câştigat. Elevii de clasa
    a XII-a, dacă citesc această soluţie, vor avea un bun exemplu de folosire a unui izomorfism (funcţia folosită de mine) la rezolvarea
    unei probleme despre elementele unui anumit grup (de matrici), prin transferarea ei într-un alt grup (de numere reale) în
    care dispunem de mai multe instrumente matematice.
    În plus, am inclus o demonstraţie a faptului că dacă o matrice A aparţine mulţimii G, atunci toate puterile ei aparţin lui G,
    a cărui importanţă ai subliniat-o şi tu în prima postare. Nu am mai demonstrat că mulţimea puterilor respective este
    infinită, pentru ca acest lucru îl demonstraseşi deja.
    Cu bine,
    ghioknt

    • 0
    • Raspunde
Raspunde

Raspunde
Anulează răspunsul


Sidebar

PUNE O INTREBARE
  • IARNA
    • Colinde pentru copii
    • Povești de iarnă
    • Povești de Crăciun
    • Craciunul ... ce, cum, cand ?
  • FUN
    • Povești pentru copii
    • Povesti scurte cu talc
    • Povesti nemuritoare
    • Poezii
    • Stiati ca...
    • Citate celebre
    • Proverbe
    • Ghicitori
    • Glume si bancuri
  • SCOALA
    • Matematica
      • Formule Algebra
      • Formule Geometrie
      • Formule Analiza
    • Stii sa scrii ?!
    • Comentarii si rezumate
    • Cultura generala

Explore

  • Matematica
  • Limba romana
  •  Istorie
  •  Chimie
  • Biologie
  • Geografie
  •  Fizica
  • Informatica
  • Limbi straine
    • Engleza
    • Franceza
    • Germana
    • Altele
  • Diverse
  • Provocari

Footer

Despre noi

Platforma educationala pentru copii, parinti si profesori. Pune intrebari si primeste raspunsuri de la profesori si utilizatori experimentati. Transmite sugestii, povesti, articole etc.

Utile

  • Puncte si Ranguri
  • FAQ
  • Termeni și condiţii
  • Contact

Proiecte

  • Parenting
  • Dictionar explicativ
  • Matematica
  • Gramatica limbii romane
  • Trafic

Statistici

  • Intrebari : 30.782
  • Raspunsuri : 70.002
  • Best Answers : 398
  • Articole : 5.238
  • Comentarii : 15.486

Inserează/editează legătura

Introdu URL-ul de destinație

Sau leagă-te la conținutul existent

    Nu ai specificat niciun termen de căutare. Arăt elementele recente. Căută sau folosește tastele săgeată sus și jos pentru a selecta un element.