Home/ Intrebari/Q 85901
Urmator
In Process
grapefruit
maestru (V)
Pe: 2014-03-17T16:04:11+02:00 In: In:

cum se demonstreaza un tip acest tip de problema

Daca am o multime care contine matrici de un anumit ordin cu o anumita propietate, daca imi zice sa arat ca acea multime este infinita se fixeaza o matrice A care apartine multimii si se arata inductiv ca A ,A^2 … A^n apartine multimii , A^i=A^j (=) A ^i-j=I (si aici apare contradictia adica nu exista nici o putere la care ridicat A sa dea matricea unitate ).Asa se rezolva aceste tipuri de exercitii?

Similare

6 raspunsuri

  1. expert (VI)

    Nu se poate scrie ca A^i=A^j\Rightarrow A^{i-j}=I decat daca se cunoaste faptul ca matricea A este inversabila. In acest caz, merge un astfel de argument in ipoteza ca puteti demonstra ca A^n\neq I,\forall n\geq 1. Totusi, probabil sunt si alte metode de a arata ca multimea e infinita. Care e concret exercitiul?

    • 0
  2. maestru (V)

    Aveti dreptate la un punct anterior te pune sa demonstrezi B^n != I_2 insa as fi interesat de acest punct.

    Deci fie multimea G= ( a b
    3b a cu prop ca a^2-3b^2=1 ,a ,b apartin Q.

    Sa se arate ca daca B apartine G cu a>0 b>0 atunci B^n != I2 si ca G este infinita.

    • 0
  4. expert (VI)

    Am reusit intr-un final. Sa presupunem ca exista un n,n\geq 2 astfel incat B^n=I_2. Atunci B^n-I_2=0 \Leftrightarrow (B-I_n)(B^{n-1}+B^{n-2}+...+B+I_2)=0 (*). Vom arata ca matricea B-I_n este inversabila.

    Intr-adevar, \det(B-I_n)=(a-1)^2-3b^2=a^2-3b^2-2a+1=1-2a+1=2(1-a)=0 \Leftrightarrow a=1. Dar a=1 si a^2-3b^2=1 \Rightarrow b=0, fals. Deci B-I_n este inversabila si inmultind egalitatea (*) cu inversa sa, rezulta B^{n-1}+B^{n-2}+...+B+I_2=0. Sa aratam ca aceasta este imposibil.

    Vom arata ca elementele lui B^k sunt >0, \forall k\geq 1. Pentru k=1 e adevarat din ipoteza asupra lui B. Presupunem ca e adevarat pentru B^n si sa notam B^n= \left( x \ y \\ z \ t \right). Atunci B^{n+1} = \left( ax+bz \ ay+bt \\ 3bx+az \ 3by+at \right) care are elementele >0 si deci demonstratia prin inductie e incheiata.

    Revenind acum la B^{n-1}+...+I_2=0, cum matricele din membrul stang au fiecare elemente strict pozitive, atunci si suma lor va avea tot elementele strict pozitive, deci egalitatea anterioara este imposibila, matricea 0 avand toate elementele nule.

    In concluzie, presupunerea ca ar exista un numar natural n\geq 2 cu B^n=I_2 a condus la contradictie. Aceasta inseamna ca B^n\neq I_2,\forall n\geq 2. Mai ramane sa aratam ca B\neq I_2. Intr-adevar, aceasta ar insemna a=b=0, dar 0^2-3\cdot 0^2=0\neq 1, fals. Asadar, B^n\neq I_2,\forall n\geq 1.

    • 1
  5. profesor

    Voi încerca şi eu o demonstraţie, devansând un pic cunoştinţele pe care le vei dobândi în clasa a XII-a.
    Pentru claritatea expunerii, prefer să notez cu M(a,b) un element oarecare al mulţimii G.
    1) Consider mulţimea H\subset \mathbb{R},\;H=\{a+b\sqrt{3}|a,\,b\in\mathbb{Q};\;a^2-3b^2=1\} şi funcţia f:G\to H,\;f(M(a,b))=a+b\sqrt{3}.
    E uşor de demonstrat că această funcţie este bijectivă, voi vedea dacă am nevoie pe parcursul demonstraţiei de asta.
    2) \forall M(a,b),\,M(a',b')\in G: M(a,b)\cdot M(a',b')\in G\;si\;f(M(a,b)\cdot M(a',b'))=f(M(a,b))\cdot f(M(a',b')).
    Intr-adevar M(a,b)\cdot M(a',b')=\left(\begin{matrix}aa'+3bb'&ab'+ba'\\3(ab'+ba')&aa'+3bb'\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}u&v\\3v&u\end{matrix}\right)\;unde\;u,v\in \mathbb{Q},
    iar u^2-3v^2=\det((M(a,b)\cdot M(a',b'))=\det((M(a,b))\cdot \det(M(a',b'))=(a^2-3b^2)(a'^2-3b'^2)=1\cdot 1=1.
    f(M(a,b)\cdot M(a',b'))=(ab'+ba')+(aa'+3bb')\sqrt{3}=(a+b\sqrt{3})(a'+b'\sqrt{3})=f(M(a,b))\cdot f(M(a',b')).
    3) Folosind asociativitatea înmulţirii matricelor sau numerelor reale precum şi cele demonstrate la 2), avem:
    M(a,b)\in G\Rightarrow (M(a,b))^n\in G,\;f((M(a,b))^n)=[f(M(a,b))]^n
    Obs. Prima concluzie nu trebuie să lipsească din nicio demonstraţie, căci dacă puterile lui M(a,b) se gândesc să părăsească
    G, degeaba sunt ele în număr infinit, G nu se poate baza pe ele pentru a-şi dovedi infinitatea.
    4) Presupunem că există b nenul şi n natural a. i. [M(a,b)]^n=I_2. avem:
    1=f(M(1,0))=f(I_2)=f((M(a,b))^n)=[f(M(a,b))]^n=(a+b\sqrt{3})^n\Rightarrow a+b\sqrt{3} este o rădăcină reală
    de ordinul n a unităţii; dar singurele posibile sunt 1 şi -1. Ori din a+b\sqrt{3}=\pm1\,si \;b\neq 0\rightarrow \sqrt{3}\in \mathbb{Q}.
    În demonstraţie nu am folosit ipoteza a,b>0 ci doar că b este nenul.
    Cu bine,
    ghioknt

    • 1
  6. maestru (V)

    Domnule ghioknt , ce ati vrut sa aratati prin acesta demonstratie? o alta metoda sau faptul ca ipoteza ne datea mai multe informatii de care aveam nevoie?

    • 0
  8. profesor

    Şi una şi alta.
    Consider că dacă la o problemă sunt prezentate 2 sau mai multe soluţii, cititorii lor nu au decât de câştigat. Elevii de clasa
    a XII-a, dacă citesc această soluţie, vor avea un bun exemplu de folosire a unui izomorfism (funcţia folosită de mine) la rezolvarea
    unei probleme despre elementele unui anumit grup (de matrici), prin transferarea ei într-un alt grup (de numere reale) în
    care dispunem de mai multe instrumente matematice.
    În plus, am inclus o demonstraţie a faptului că dacă o matrice A aparţine mulţimii G, atunci toate puterile ei aparţin lui G,
    a cărui importanţă ai subliniat-o şi tu în prima postare. Nu am mai demonstrat că mulţimea puterilor respective este
    infinită, pentru ca acest lucru îl demonstraseşi deja.
    Cu bine,
    ghioknt

    • 0
Raspunde

Raspunde