Daca am o multime care contine matrici de un anumit ordin cu o anumita propietate, daca imi zice sa arat ca acea multime este infinita se fixeaza o matrice A care apartine multimii si se arata inductiv ca A ,A^2 … A^n apartine multimii , A^i=A^j (=) A ^i-j=I (si aici apare contradictia adica nu exista nici o putere la care ridicat A sa dea matricea unitate ).Asa se rezolva aceste tipuri de exercitii?
Nu se poate scrie ca
decat daca se cunoaste faptul ca matricea
este inversabila. In acest caz, merge un astfel de argument in ipoteza ca puteti demonstra ca
. Totusi, probabil sunt si alte metode de a arata ca multimea e infinita. Care e concret exercitiul?
Aveti dreptate la un punct anterior te pune sa demonstrezi B^n != I_2 insa as fi interesat de acest punct.
Deci fie multimea G= ( a b
3b a cu prop ca a^2-3b^2=1 ,a ,b apartin Q.
Sa se arate ca daca B apartine G cu a>0 b>0 atunci B^n != I2 si ca G este infinita.
Am reusit intr-un final. Sa presupunem ca exista un
astfel incat
. Atunci
(*). Vom arata ca matricea
este inversabila.
Intr-adevar,
. Dar
si
, fals. Deci
este inversabila si inmultind egalitatea (*) cu inversa sa, rezulta
. Sa aratam ca aceasta este imposibil.
Vom arata ca elementele lui
sunt
,
. Pentru
e adevarat din ipoteza asupra lui
. Presupunem ca e adevarat pentru
si sa notam
. Atunci
care are elementele
si deci demonstratia prin inductie e incheiata.
Revenind acum la
, cum matricele din membrul stang au fiecare elemente strict pozitive, atunci si suma lor va avea tot elementele strict pozitive, deci egalitatea anterioara este imposibila, matricea
avand toate elementele nule.
In concluzie, presupunerea ca ar exista un numar natural
cu
a condus la contradictie. Aceasta inseamna ca
. Mai ramane sa aratam ca
. Intr-adevar, aceasta ar insemna
, dar
, fals. Asadar,
.
Voi încerca şi eu o demonstraţie, devansând un pic cunoştinţele pe care le vei dobândi în clasa a XII-a.
şi funcţia 




![formula matematica M(a,b)\in G\Rightarrow (M(a,b))^n\in G,\;f((M(a,b))^n)=[f(M(a,b))]^n](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-24e631264ecc5209a397830238e7b5d5_l3.png)
avem:
este o rădăcină reală
Pentru claritatea expunerii, prefer să notez cu M(a,b) un element oarecare al mulţimii G.
1) Consider mulţimea
E uşor de demonstrat că această funcţie este bijectivă, voi vedea dacă am nevoie pe parcursul demonstraţiei de asta.
2)
Intr-adevar
iar
3) Folosind asociativitatea înmulţirii matricelor sau numerelor reale precum şi cele demonstrate la 2), avem:
Obs. Prima concluzie nu trebuie să lipsească din nicio demonstraţie, căci dacă puterile lui M(a,b) se gândesc să părăsească
G, degeaba sunt ele în număr infinit, G nu se poate baza pe ele pentru a-şi dovedi infinitatea.
4) Presupunem că există b nenul şi n natural a. i.
de ordinul n a unităţii; dar singurele posibile sunt 1 şi -1. Ori din
În demonstraţie nu am folosit ipoteza a,b>0 ci doar că b este nenul.
Cu bine,
ghioknt
Domnule ghioknt , ce ati vrut sa aratati prin acesta demonstratie? o alta metoda sau faptul ca ipoteza ne datea mai multe informatii de care aveam nevoie?
Şi una şi alta.
Consider că dacă la o problemă sunt prezentate 2 sau mai multe soluţii, cititorii lor nu au decât de câştigat. Elevii de clasa
a XII-a, dacă citesc această soluţie, vor avea un bun exemplu de folosire a unui izomorfism (funcţia folosită de mine) la rezolvarea
unei probleme despre elementele unui anumit grup (de matrici), prin transferarea ei într-un alt grup (de numere reale) în
care dispunem de mai multe instrumente matematice.
În plus, am inclus o demonstraţie a faptului că dacă o matrice A aparţine mulţimii G, atunci toate puterile ei aparţin lui G,
a cărui importanţă ai subliniat-o şi tu în prima postare. Nu am mai demonstrat că mulţimea puterilor respective este
infinită, pentru ca acest lucru îl demonstraseşi deja.
Cu bine,
ghioknt