Home/ Intrebari/Q 85811
Urmator
In Process
viperaza
user (0)
Pe: 2014-03-10T16:28:34+02:00 In: In:

Problema matrice simetrica

Fie A\epsilon\: M_{4}(\mathbb{R}) o matrice simetrica astfel incat \det(A+I_{4})=4\cdot \sqrt{\det(A^{2}+I_{4})}.
Arătaţi că: (A-I_{4})^{4}=O_{4}

Similare

3 raspunsuri

  1. profesor

    Mă bag şi eu cu o soluţie; dacă o citiţi, nu ezitaţi să o criticaţi sau să puneţi întrebări. Cel mai bine ar fi o soluţie mai bună.
    Fie P_A(x) polinomul caracteristic al matricei A, definit prin P_A(x)=det (xI_4-A)=det (A-xI_4)\;si\;\lambda_i,\;i=1,2,3,4,
    rădăcinile acestui polinom, numite şi valorile proprii ale matricei A. Avem, atunci
    P_A(x)=(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)(x-\lambda_3)(x-\lambda_4)\;pe\;scurt\;\prod(x-\lambda_i)\Rightarrow det (A+I_4)=P_A(-1)=\prod(1+\lambda_i).
    Ştiu că dacă valorile proprii ale lui A sunt \lambda_i, atunci valorile proprii ale lui A^2\;sunt\;\lambda_i^2 şi
    P_{A^2}(x)=det (A^2-xI_4)=\prod(x-\lambda_i^2)\Rightarrow det (A^2+I_4)=P_{A^2}(-1)=\prod(1+\lambda_i^2). Ipoteza se scrie:
    \prod(1+\lambda_i)=4\sqrt{\prod(1+\lambda_i^2).
    Sper din suflet să fie adevărat că valorile proprii ale unei matrici simetrice sunt reale, altfel nu văd la ce foloseşte această
    ipoteză. Dacă e aşa, folosesc şi inegalitatea dintre mediile aritmetică şi pătratică şi obţin:
    |(1+\lambda_i)|\leq1+|\lambda_i|\leq2\sqrt{\frac{1+\lambda_i^2}{2}}. Aceste inegalităţi de numere pozitive le înmulţim:
    |\prod(1+\lambda_i)|\leq 2^4\sqrt{\frac{1+\lambda_i^2}{2^4}}; folosind şi \prod(1+\lambda_i)\leq |\prod(1+\lambda_i)|:
    \prod(1+\lambda_i)\leq4\sqrt{\prod(1+\lambda_i^2).
    În ipoteză avem însă egalitate; inegalităţile folosite sunt, de fapt, egalităţi, ceeace se întâmplă numai dacă
    toţi \lambda_i\geq0 (nu mai am nevoie de module); toţi \lambda_i=1 (cele 2 medii sunt egale).
    Avem deci P_A(x)=(x-1)^4, iar pentru că orice matrice îşi anulează polinomul caracteristic:
    (A-I_4)^4=O_4.
    Cu bine,
    ghioknt
    PS det (xI_4-A) înseamnă determinant.

    • 0
  2. user (0)

    Multumesc! Frumoasa rezolvare.

    • 0
  4. profesor

    Cu plăcere. Mai mulţumeşte-i odată domnului PhantomR care m-a ambiţionat cu frumoasele-i soluţii la precedentele probleme
    pe care le-ai postat. Ne-a făcut, pe mine şi probabil şi pe alţii, să scrutăm şi alte ”meleaguri”, nu numai pe acelea pe care
    le bătătorim zilnic.
    Cu bine,
    ghioknt

    • 0
Raspunde

Raspunde