Home/ Intrebari/Q 85765
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

viperaza
user (0)
Pe: 2014-03-06T16:56:44+02:00 In: In:

Matrice

Fie A,B din M3(Z) cu detA=detB=0 si AB=BA. Demonstrati ca numarul \sqrt[3]{\frac{1}{2}(\det(A^{3}+B^{3})+\det(A^{3}-B^{3}))}\epsilon\: \mathbb{Z}
Am luat f(x)=det(A^3+xB^3)=ax^2+bx, deci expresia noastra ramane radical de ordin 3 din a. Cum demonstrez ca a este cub perfect in Z? M.am gandit ca a ar trebui sa fie cubul lui c, unde c este coeficientul lui x^2 din polinomul desfasurat al lui det(A+xB), dar nu stiu cata dreptate am.

Similare

5 raspunsuri

  1. PhantomR
    expert (VI)

    Pentru matrice A,B \in M_n(\mathbb{R}) avem f(x)=\det (A+xB)= \det(B) x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+\det A.

    Prin dezvoltarea expresiei \det(A+xB) se constata ca este un polinom de grad cel mult n in x.

    Atunci termenul sau liber este f(0)=\det A.

    Pentru coeficientul dominant, avem in vedere faptul ca pentru un polinom g\in \mathbb{R}[X] de grad k, coeficientul sau dominant este dat de \lim_{x\to\infty} \frac{g(x)}{x^k}.

    Deci pentru polinomul nostru avem coeficientul dominant \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x^n} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x^n} \det(A+xB) = \lim_{x\to\infty} \det (\frac{1}{x}(A+xB)) =\lim_{x\to\infty} \det (\frac{1}{x} A + B)= \det B.
    PRECIZARE:OBSERVAȚIE:

    • 0
  2. viperaza
    user (0)

    Intr-adevar, aceste rezultate sunt foarte folositoare. Multumesc pentru prezentarea analizei lor.
    Dar gresiti in abordarea problemei.

    A si B sunt matrice de ordin 3, deci polinomul det(A^3+xB^3) este polinom de grad 3, dupa cum ati spus si este egal cu detB^3\cdot x^{3} + ax^{2}+bx+detA care este egal in cazul nostru cu ax^2+bx, iar expresia este radical de ordin 3 din a.

    Ca o alta idee pe care am incercat-o: Am scris A^3+B^3=(A+B)(A^2+B^2-AB), folosind ca AB=BA, si la fel si expresia A^3-B^3.
    Putem considera deci g,h:C–>C, g(x)=det(A+xB)=cx^2+dx si h(x)=det(A^2+B^2+xAB)=det(A^2+B^2)x^3+mx^2+nx

    Observatie: det(A^2+B^2)=g(i)g(-i)=c^2+d^2, deci h se poate rescrie sub forma (c^2+d^2)x^3+mx^2+nx
    Scriem f(1)=g(1)*h(-1) si f(-1)=g(-1)*h(1) si efectuand calculele se ajunge la vreo 3 termeni sub radical.

    Poate reusiti dvs sa fructificati cumva aceasta idee.

    • 0
  4. PhantomR
    expert (VI)

    EDIT:REAMINTESC: a e coeficientul lui x, nu al lui x^2 (am lucrat pe dos!!).

    • 0
  5. viperaza
    user (0)

    Foarte frumos! Nu m-am gandit la epsilon.

    • 0
  6. PhantomR
    expert (VI)

    SUNT BUNE DE REȚINUT!

    • 0
Raspunde

Raspunde