Home/ Intrebari/Q 85750
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

w.andreea
user (0)
Pe: 2014-03-05T17:39:49+02:00 In: In:

limite de siruri

1. Se considera sirul

    \[ a_n \]

astfel incat

    \[ a_n ={\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x\cos 2x...\cos nx}}{{x^2 }} \]

.
Sa se calculeze

    \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{6a_n }}{{n^3 }}} \right)^{\frac{{n^2 }}{{n + 1}}} \]

2. Sa se calculeze

    \[ {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2^{\sin \pi x} - 2^{tg\pi x} }}{{x - 1}} \]

Similare

6 raspunsuri

  1. viperaza
    user (0)

    1)Scriem astfel:
    a_{n}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx\cdot cos2x\cdot ...\cdot cosnx}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosnx+cosnx-cosx\cdot cos2x\cdot ...\cdot cosnx}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1-cos(nx)}{x^{2}}+cos(nx)\cdot \frac{1-cosx\cdot cos2x\cdot ...\cdot cos(n-1)x}{x^{2}})

    Cum \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(nx)}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}(\frac{nx}{2})}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sin(\frac{nx}{2})}{\frac{nx}{2}})^{2}\cdot \frac{n^{2}}{2}=\frac{n^{2}}{2} şi \lim_{x\rightarrow 0}cosnx=1 rezultă, despărţind în 2 limite prima relaţie, că a_{n}=\frac{n^{2}}{2}+a_{n-1}

    Scriem a_{n}-a_{n-1}=\frac{n^{2}}{2} inlocuinu-l pe n cu 1,2…n si adunam relatiile. Obtinem: a_{n}=\frac{1}{2}+\frac{2^{2}}{2}+\frac{3^{2}}{2}+...+\frac{n^{2}}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}

    Atunci limita ceruta este: \lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{n(n+1)(2n+1)}{2n^{3}})^{\frac{n^{2}}{n+1}}=\lim_{x\rightarrow \infty }[(1+\frac{3n^{2}+n}{2n^{3}})^{(\frac{2n^{3}}{3n^{2}+n})}]^{\frac{n^{2}}{n+1}\cdot \frac{3n^{2}+n}{2n^{3}}}=e^{\frac{3}{2}}

    Daca ai nelamuriri, raspund cu placere.

    • 0
  2. viperaza
    user (0)

    2)\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2^{tg\pi x}(2^{sin\pi x-tg\pi x}-1)}{sin\pi x-tg\pi x}\cdot \frac{sin\pi x-tg\pi x}{x-1}=ln2\cdot \lim_{x\rightarrow 1}\frac{sin\pi x-tg\pi x}{x-1}

    Şi folosind că: sin(a)=-sin(a-\pi),\: \: tg(a)=tg(a-\pi) avem:\lim_{x\rightarrow 1}\frac{sin\pi x-tg\pi x}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-sin\pi (x-1)-tg\pi (x-1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{-sin\pi (x-1)}{\pi(x-1)}\cdot\pi+\frac{-tg\pi (x-1)}{\pi(x-1)}\cdot\pi=-2\pi

    De aceea, limita ceruta este egală cu -2\pi \cdot ln2.

    • 0
  4. w.andreea
    user (0)

    Multumesc!

    • 0
  5. grapefruit
    maestru (V)

    viperaza wrote: 1)Scriem astfel:
    a_{n}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosx\cdot cos2x\cdot ...\cdot cosnx}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cosnx+cosnx-cosx\cdot cos2x\cdot ...\cdot cosnx}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{1-cos(nx)}{x^{2}}+cos(nx)\cdot \frac{1-cosx\cdot cos2x\cdot ...\cdot cos(n-1)x}{x^{2}})

    Cum \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos(nx)}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sin^{2}(\frac{nx}{2})}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}(\frac{sin\frac{nx}{2}}{\frac{nx}{2}})^{2}\cdot \frac{n^{2}}{2}=\frac{n^{2}}{2} şi \lim_{x\rightarrow 0}cosnx=1 rezultă, despărţind în 2 limite prima relaţie, că a_{n}=\frac{n^{2}}{2}+a_{n-1}

    Scriem a_{n}-a_{n-1}=\frac{n^{2}}{2} inlocuinu-l pe n cu 1,2…n si adunam relatiile. Obtinem: a_{n}=\frac{1}{2}+\frac{2^{2}}{2}+\frac{3^{2}}{2}+...+\frac{n^{2}}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}

    Atunci limita ceruta este: \lim_{x\rightarrow \infty }(\frac{n(n+1)(2n+1)}{2n^{3}})^{\frac{n^{2}}{n+1}}=\lim_{x\rightarrow \infty }[(1+\frac{3n^{2}+n}{2n^{3}})^{(\frac{2n^{3}}{3n^{2}+n})}]^{\frac{n^{2}}{n+1}\cdot \frac{3n^{2}+n}{2n^{3}}}=e^{\frac{3}{2}}

    Daca ai nelamuriri, raspund cu placere.

    Daca notezi cu a_n=((1-cos nx ))/x^2,atunci tu ai notat cu a_n-1 =((1-cos x cos2x…cos (n-1)x) )/x^2 dar eu nu este adevarat pt ca a_n-1 ar fi (1-cos(n-1)x)/x^2 fara acei cosinusi in plus,scuze daca gresesc este doar o parere

    • 0
  6. viperaza
    user (0)

    Nu am notat cu a_n acel ((1-cos nx ))/x^2. a_n este notatie folosita in ipoteza. Acel lim((1-cos nx )/x^2) l-am calculat separat si l-am despartit de limita principala folosind lim(a+b)=lima+limb cand adunarea are sens.
    lim((1-cos nx )/x^2 este n patrat pe 2 iar ce ramane este a_(n-1), cu notatia din ipoteza.

    • 0
  8. grapefruit
    maestru (V)

    Ms pt clarificare!

    • 0
Raspunde

Raspunde