Home/ Intrebari/Q 85747
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

xor_NTG
maestru (V)
Pe: 2014-03-05T11:16:27+02:00 In: In:

Lege de compozitie, simulare BAC 2014

Subiectul II, exercitiul 2, defineste pe R legea de compozitie:

    \[ x*y = 3xy - 3x - 3y + 4 \]

La a) cere sa aratam ca

    \[ x*y = 3\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right) + 1 \]

, ceea ce am facut, dar la b) vine cutremurul:

Calculati

    \[ \frac{1}{{1007}}*\frac{2}{{1007}}*...*\frac{{2014}}{{1007}} \]

Care e ideea aici? Am incercat sa caut un izomorfism, pentru a scoate aceasta compunere cu functia inversa, dar nu l-am gasit! Acel 1007 clar e 2014/2, dar nu stiu la ce ajuta…Nici punctul a) pare sa nu fie util.

Multumesc.

Similare

13 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Izomorfismul este în faţa ta. Ce-i mai trebuie relaţiei x\star y-1=3(x-1)(y-1) să fie un morfism?
    Doar un 3 ! Iată, îl pun eu: 3x\star y-3=(3x-3)(3y-3). Acum se vede că h(t)= 3t-3 este morfism de la (\mathbb{R},\star)\;la\; (\mathbb{R},\cdot).
    Cât despre bijectivitate , ce să mai vorbim!
    Cu notaţia \frac{1}{1007}\star \,...\,\star \frac{2014}{1007}=u:\;3u-3=(\frac{1}{1007}-1)\,...\,(\frac{2014}{1007}-1)=0 pentru că o paranteză este 0; deci u=1.
    Cu bine,
    ghioknt

  2. Felicia_b

    Eu am facut in felul acesta:
    Cum legea este asociativa=>

        \[\frac{1}{{1007}}*\frac{2}{{1007}}*...*\frac{{2014}}{{1017}} = 3\left( {\frac{1}{{1007}} - 1} \right)\left( {\frac{2}{{1007}} - 1} \right)...\left( {\frac{{1007}}{{1007}} - 1} \right)...\left( {\frac{{2014}}{{1007}} - 1} \right) + 1 = 1\]

    Este corect ? Era necesar inductiv?

  4. ghioknt
    profesor

    Mie mi se pare că nu trebuie nicio inducţie. Faptul că orice lege asociativă este ”infinit asociativă” este o achiziţie pe care
    toţi elevii o pot avea în ”arsenalul” cu care intră în sală. Altminteri, ar trebui dată o lege care să stipuleze că cei care ştiu
    mai multe să nu poată fi pedepsiţi de către incompetenţi,
    Cu bine,
    ghioknt

  5. xor_NTG
    maestru (V)

    Intr-adevar, era chiar in fata mea! Problema e ca nu l-am vazut atunci cand trebuia. Asta arata ca nu am suficienta experienta pentru a putea „observa” ceea ce trebuie. Foarte interesanta ideea cu „infinit asociativa”, ceea ce eu sincer nu stiam, adica nu mai intalnisem aplicabilitatea acesteia asa cum se observa in acest exercitiu.

    Rezolvarea oficiala spune ca pentru orice x real, x * 1 = 1 * x = 1. Cum avem 1 in acea compunere, rezultatul final este 1. Eu am mai intalnit ideea asta de rezolvare, dar in majoritatea cazurilor acel numar „magic”, in acest caz 1, ti se sugera intr-un fel (stiu eu, iti spunea la punctul a) sa demonstrezi acea egalitate). Mergand pe ideea promovata de ei, eu trebuia sa spun „Se observa ca x * 1 = 1 * x = 1, …”, ceea ce tine, din nou, de experienta.

    Multumesc cu respect pentru indrumari!

  6. Felicia_b

    Eu am facut in felul acesta:
    Cum legea este asociativa=>

        \[\frac{1}{{1007}}*\frac{2}{{1007}}*...*\frac{{2014}}{{1017}} = 3\left( {\frac{1}{{1007}} - 1} \right)\left( {\frac{2}{{1007}} - 1} \right)...\left( {\frac{{1007}}{{1007}} - 1} \right)...\left( {\frac{{2014}}{{1007}} - 1} \right) + 1 = 1\]

    D-le ghioknt, este buna pana la urma aceasta sau voi fi depunctata? In barem solutia este diferita..

  8. PhantomR
    expert (VI)

    @xor_NTG: Eu nu am vazut acea smecherie, dar aparent era oarecum sugerata de expresia de la a) (acei 1 din paranteze).

    @Felicia_b

  9. grapefruit
    maestru (V)

    subiectele voastre au fost destul de dificile,la clasa a 11a au fost foarte simple!

  10. Felicia_b

    PhantomR wrote: @

    @Felicia_b: Este partial gresit pentru că relatia arată de fapt asa: \frac{1}{2007}\star \frac{2}{2007} \star .... \star \frac{2014}{1017}= 3^{2013} (\frac{1}{2007}-1)...(\frac{2014}{1007}-1)+1, dar concluzia nu se modifică chiar prin prezenta acelei puteri a lui 3.


    Am uitat 🙁 oare se va scadea mult din punctaj?

  12. ghioknt
    profesor

    Bună ziua, domnule PhantomR; nu v-am mai citit de mult!
    Intenţia mea a fost să scriu 3u-3=(3\cdot\frac{1}{1007}-3)\,...\,(3\cdot\frac{2014}{1007}-3)=0 \;care\;provine\;din\;h(u)=h(\frac{1}{1007})\cdot...\cdot h(\frac{2014}{1007})
    aşa cum îi şade bine oricărui (izo)morfism. De unde se vede că e greu să iei 10 la bacalaureat!
    Rezolvarea din barem nu e ”cuşer”. Ea este naturală pentru cei familiarizati deja cu corpurile, care şi-ar da seama că
    1 este, pentru structura de corp indusă pe R de izomorfismul h(t)=3t-3, ceeace este 0 pentru corpul (R,+,.): x.0=0, x\ast 1=1.
    Apreciez că rezolvarile propuse de xor_NTG si Felicia mi se par mai naturale, pentru că punctul a) facilitează
    atât găsirea izomorfismului, cât şi demonstrarea asociativităţii.
    Cu bine,
    ghioknt

  13. PhantomR
    expert (VI)

    @Felicia_bghioknt🙂:D, dar tot ce mi-a trecut prin cap a fost aproximativ ceea ce a propus si Felicia_b

  14. Felicia_b

    Mai am o intrebare legata de corectare : La mate este tot ca la romana ? adica se tine cont si de ortografie ..eu am scris si anumite prescurtari pe foaie de genul pt. care ; a.i …sau doar conteaza ceea ce e strict matematic ?
    Si inca ceva ,la determinantul acela eu am scris deasupra egalului L2+L1,L3+L1 ..pentru a arata ca celelalte doua linii se aduna la prima ; oare se subintelege la corectura sau trebuia sa mentionez si in paranteza ?

  16. PhantomR
    expert (VI)

    Eu cred ca se accepta prescurtari ca „d.d.” (daca si numai daca), „a.i.” (astfel incat), „c.c.t.d” (ceea ce trebuia demonstrat), „q.e.d” (quod erat demonstrandum), caci presupun ca acestea sunt consacrate.

    In legatura cu determinantul, as vrea sa va intreb de ce nu ati scris. Nu cred ca ar fi durat atat de mult si asa nu ati mai fi avut griji in legatura cu asta. Dar oricum, deoarece parca imi amintesc ca am vazut un barem unde nu se specificau, probabil ca nu se va depuncta pentru asa ceva.

  17. Felicia_b

    Am crezut ca se intelege de la sine si oricine cred ca remarca ca s-au adunat celelalte linii ,avand in determinantul urmator pe prima linie (a+2) ,care iesea in fata…

Raspunde

Raspunde