Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Fie functia f: (0,+∞)->R
![\[ f(x) = ( - 1)^{[x]} (x - 2\left[ {\frac{x}{2}} \right] - 1) + 1 \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-13ab43447a78ddfce56d98f6f10764e7_l3.png "formula matematica")
Sa se arate ca f este functie periodica cu perioada T=2.
Stiu ca trebuie sa arat ca oricare ar fi x apartine (0,+∞) atunci f(x+k)=f(x).
Cum fac?Il inlocuiesc pe k cu 2?
1) Demonstrez urmatorul enunt:
f(x)= { {x} daca x=2k+{x} k € N
____{ 1-{x} daca x=2k+1+{x} k € N
caz a x=2k+{x}
f(x)=(-1)^[2k+{x}](2k+{x}-2[(2k+{x})/2]-1)+1=
=(-1)^2k(2k+{x}-2k-1)+1=
=2k+{x}-2k-1+1=
={x}
caz b x=2k+1+{x}
f(x)=(-1)^[2k+1+{x}](2k+1+{x}-2[(2k+1+{x})/2]-1)+1=
=(-1)^(2k+1)(2k+1+{x}-2k-1)+1=
=(-1){x}+1=
=1-{x}
2) aratam ca orice x real pozitiv se reprezinta sub forma:
x=2k+{x} sau x=2k+1+{x} cu k € N
Fie x real pozitiv. Atunci x=[x]+{x}
Din Teorema impartirii cu rest avem [x]=2k+r unde r=0 sau 1 si k € N
de unde x=2k+{x} sau x=2k+1+{x}
3) Aratam f(x+2)=f(x)
Fie x € R din 2) => caz a x=2k+{x} k € N sau caz b x=2k+1+{x} k € N
caz a) x+2=2k+2+{x+2}=2(k+1)+{x} => conform 1) f(x+2)={x}=f(x) adica f(x+2)={x}=f(x)
caz b) x+2=2k+2+1+{x+2}=2(k+1)+1+{x} => conform 1) f(x+2)=1-{x}=f(x)
PS Demonstratia nu e incheiata. Trebuie aratat ca nu putem avea f(x+T)=f(x) pt nici un 0<T<2 (Definitia perioadei unei functii)
Aratam ca nu putem avea f(x+T)=f(x) pt nici un 0<T<2 (Definitia perioadei unei functii)
folosim METODA REDUCERII LA ABSURD:
presupunem prin absurd ca exista 0<T<2 cu proprietatea: f(x+T)=f(x) pt orice x>0 real
In particular trebuie sa fie adevarata si pt si pt x=2-T =>
f(2-T)=f(2-T+T) pt ca f este periodica de perioada T
=f(2)=0
Pe de alta parte f(T)={T} sau f(T)=1-{T} depinzand de faptul ca T este sau nu subunitar. In ambele cazuri f(T) este diferit de 0 de unde contradictia.