Buna ziua . Am nevoie de ajutor..mare ajutor la aceste 3 exercitii ..chiar nu stiu sa le fac si nu are cine sa ma ajute .
1) Fie f,g:R->R doua functii continue pe R, A={x apartine R|f(x)=g(x)} si functia h:R->R, h(x)= f(x) pentru x apartine Q si g(x) pentru x apartine R-Q. Aratati ca functia h este continua pe A si discontinua in orice punct Xo apartine R-A .
2)Determinati domeniul de definitie al functiei f(x) = 3**x+4**x pentru x apartine Q si 5**x, pentru x apartine R-Q.
3) Fie f,g:R->R doua functii continue pe R,astfel incat f(x)=g(x), oricare ar fi x apartine multimii Q. Aratati ca f=g .
M-ati ajuta enorm daca mi-ati arata aceste 3 exercitii …am o pagina intreaga de facut ..
Multumesc anticipat
Fie
, indiferent dacă x_0 este raţional sau iraţional. Pentru a demonstra că h este continuă în x_0
şi
pentru că f şi g sunt continue în x_0.
Considerăm un şir b_n cu termenii iraţionali şi cu limita x_0.
este suficient să arăţi că pentru orice şir
Dacă şirul cu limita x_0 se desface în 2 subşiruri, pe care le renumerotez şi le notez a_n şi b_n, primul numai cu termeni raţionali
şi al doilea numai cu termeni iraţionali, atunci acestea au aceeaşi limită x_0 şi
Dacă nu este aşa, înseamnă că, sau numărul termenilor iraţionali este finit, sau numărul celor raţionali este finit (sau 0).
Înseamnă că de la un anumit rang şirul devine un şir de tip a_n, respectiv de tip b_n. În ambele situaţii
Fie
Din continuitatea lui g deducem:
Mutatis mutandi, dacă
În concluzie, h nu este continuă într-un asemenea punct.
La punctul 2) cred că se cere domeniul de continuitate, nu de definiţie. Se aplică punctul 1). Ecuaţia f(x)=g(x) are doar soluţia 2.
3) Fie x iraţional; considerăm, ca la 1), un şir (a_n) cu toţi termenii raţionali şi cu limita x. Din continuitatea funcţiilor f, g avem
lim f(a_n)=f(x) şi lim g(a_n)=g(x), iar din f(a_n)=g(a_n) avem că cele 2 limite sunt egale, deci f(x)=g(x).
Cu bine, ghioknt.