Home/ Intrebari/Q 85262
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

xor_NTG
maestru (V)
Pe: 2014-02-04T15:53:54+02:00 In: In:

Intrebare Suma Riemann

Problema care se pune se leagă de această sumă Riemann, explicată foarte laborios de neinteligibil.

Manualul (Burtea, 2007, Carminis), zice asa:

„Se numeste sumă Riemann sau sumă integrală asociată functiei f, diviziunii

    \[ \Delta \]

si sistemului de puncte intermediare

    \[ \xi \]

, numărul real:

    \[ \sigma _\Delta \left( {f,\xi } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {\xi _i } \right)\left( {x_i - x_{i - 1} } \right)} \]

Încă nu am intrat de tot în ceată în momentul coliziunii mele cu această formulă. Evident, analizând în prealabil semnificatia conceptelor de diviziune precum si puncte intermediare, am ajuns la următoarea interpretare a formulei: suma respectivă este de fapt o sumă de arii ale dreptunghiurilor ce împart aria suprafetei dintre axa OX si graficul functiei f. Aria unui dreptunghi fiind egală cu produsul dintre lungimea si lătimea acestuia, observăm, prin identificare, că

    \[ {f\left( {\xi _i } \right)} \]

este de fapt lungimea dreptunghiului, ceea ce corespunde valorii functiei în punctul

    \[ {\xi _i } \]

, iar diferenta

    \[ {x_i - x_{i - 1} } \]

reprezintă lătimea dreptunghiului considerat, adică lungimea dintre două puncte intermediare consecutive. Deci suma acestor arii, ne dă o aproximare a ariei suprafetei formată de graficul functiei si axa OX.

Până acum, toate bune. Apare însă problema asocierii acestei functii cu notiunea de integrală definită. De ce? Hai să ne uităm iar la ce spune manualul:

Citez: „Functia

    \[ f] \to R \]

se numeste functie integrabilă Riemann pe intervalul [a,b] dacă există un număr real I, astfel încât pentru orice sir

    \[ \Delta _n \]

de diviziuni ale intervalului [a,b],

    \[ \Delta _n = \left( {x_0^{\left( n \right)} ,x_1^{\left( n \right)} ,...,x_{k_n - 1}^{\left( n \right)} ,x_{k_n }^{\left( n \right)} } \right) \]

, cu

    \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } \left\| {\Delta _n } \right\| = 0 \]

, si orice sir de puncte intermediare

    \[ \xi ^{\left( n \right)} = \left( {\xi _1^{\left( n \right)} ,\xi _2^{\left( n \right)} ,...,\xi _n^{\left( n \right)} } \right) \]

, cu

    \[ x_{i - 1}^{\left( n \right)} \le \xi _i^{\left( n \right)} \le x_i^{\left( n \right)} ,\,\,1 \le i \le k_n ,n \in N \]

, sirul de sume integrale corespunzător este convergent către I. Cu alte cuvinte,

    \[ I = {\lim }\limits_{n \to \infty } \sigma _{\Delta _n } \left( {f,\xi ^{\left( n \right)} } \right) = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \]

„

Aici am intrat în ceată densă, vizibilitate zero.

Nu înteleg fenomenul cu sirul de diviziuni. Nu putea să exemplifice pe o singură diviziune a unui interval? Norma unui interval este cea mai mare dintre lungimile intervalelor de diviziune. Practic, definitia din manual de mai sus, afirmă că pentru orice sir de divizuni, cu norma convergentă la zero, sirul de sume Riemann converge către I. Cu alte cuvinte, de aici întelegem că distanta dintre două puncte intermediare consecutive (de fapt, dintre abscisele punctelor respective) dintr-o anumită diviziune, scade până la zero, când n tinde la infint?

Nu există o explicatie mai inteligibilă a acestui fenomen?

Întreb asta pentru că m-am lovit de următorul exercitiu într-o variantă de bac (tot din 2009), care spune asa:

    \[ f] \to R,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) = \cos x \]

c) Calculati:

    \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 - f\left( {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right)} \right)\left( {f\left( {\frac{1}{n}} \right) + f\left( {\frac{2}{n}} \right) + ... + f\left( {\frac{n}{n}} \right)} \right) \]

La o primă vedere, da, putem observa că e vorba de o sumă Riemann dar tocmai datorită neinteligibilitătii celor explicate în manual în acest sens, am fost nevoit să mă uit la rezolvare, care spune asa:

    \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 - f\left( {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right)} \right)\left( {f\left( {\frac{1}{n}} \right) + f\left( {\frac{2}{n}} \right) + ... + f\left( {\frac{n}{n}} \right)} \right) = {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {n\left( {1 - f\left( {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right)} \right)} \right]\left[ {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {f\left( {\frac{k}{n}} \right)} } \right] \]

După care, în mod senzational, îsi permite să spună că:

    \[ {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {f\left( {\frac{k}{n}} \right)} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = \sin 1} \]

Moment în care m-am blocat. Am înteles că a făcut acel artificiu, adică a înmultit si a împărtit prin n, pentru a-i iesi acel

    \[ {\frac{1}{n}} \]

în fata sumei integrale, dar de ce?? Care e scopul? Norma, care e?
De unde îi iese limitele de integrare? Practic suma din ultima relatie este o sumă de valori a unei functii, nicidecum o sumă de arii, asa cum arată suma Riemann. Nu înteleg cum interpretează această sumă.

Multumesc.

Similare

5 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    În spatele acestei definiţii a noţiunii de funcţie integrabilă se ascund lucruri încă mai complexe.
    Definiţia sugerează că valoarea unei sume R. este influenţată de 3 factori: de punctele care alcătuiesc diviziunea, de cît de
    ”marunţit” este intervalul [a; b] (de norma diviziunii) şi de punctele intermediare alese (fiecare punct intermediar ”zburdă’
    în câte un interval al diviziunii). Ai sesizat că suma R. aproximează aria unui subgrafic – domeniul cuprins între Ox şi grafic.
    Ei bine, definiţia confirmă o intuiţie şi anume că sumele R. aproximează aria subgraficului cu atât mai bine, cu cât intervalul a
    fost tocat mai mărunt (norma diviziunii este mai mică, iar dacă tinde la 0, cu atât mai bine).
    Definiţia spune că factorul decisiv pentru ca o sumă R. să se apropie foarte mult de un număr I este norma diviziunii;
    dacă norma este suficient de mică atunci ceilalţi 2 factori nu contează, deaceea ei sunt precedaţi de ”oricare ar fi”.
    S-a adoptat varianta cu şiruri de diviziuni, pentru a-i da definiţiei şi un rol practic: calculul limitelor unor şiruri .
    Exerciţiul de la BAC este pentru absolvenţi, nu pentru cei care abia învaţă acum funcţii integrabile.
    Fie f:[0; 1] ->R o funcţie despre care ştim că este integrabilă (de ex. este continuă) Să luăm cel mai simplu şir de diviziuni
    al cărui şir de norme tinde la 0 \Delta_n=(0,\,\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\,...,\,\frac{n-1}{n},\,\frac{n}{n}=1)\;cu\;||\Delta_n||=\frac{1}{n}\to 0;\;\xi ^{(n)}=(\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\,...\,,\frac{n}{n}),
    la care am asociat un sistem cât mai simplu de puncte intermediare – în fiecare interval, capătul din dreapta. Încă odată
    subliniez: nu contează punctele diviziunii, nici punctele intermediare, dacă şirul normelor tinde la 0, este garantat că şirul
    sumelor R. tinde la I. Toate intervalele diviziunii au aceeaşi lungime 1/n, care se dă factor, deci suma R. arată aşa:
    \sigma =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n}).
    Experienţa o să te înveţe ca privind o asemenea sumă să-ţi dai seama care este funcţia, când intervalul de integrare
    este [0; 1] sau [0; b], dacă drept puncte intermediare au fost alese capetele din stânga, sau cele din dreapta, sau centrele
    intervalelor, sau mai rău.
    Cu bine, ghioknt.

  2. xor_NTG
    maestru (V)

    Deci acel 1/n s-a dat factor, asta înseamnă că diferenta dintre două puncte intermediare consecutive este constantă, egală cu 1/n. Problema e că nu spune nicăieri asta! Adică eu nu am văzut să scrie că lucrăm cu diviziuni echidistante. Nu era mai simplu să spună asta?

  4. ghioknt
    profesor

    Păi, nu trebuie să spună. Tu ai sarcina să calculezi limita unui şir. Nu eşti obligat să o calculezi cu ajutorul unei integrale.
    Dacă însă ai elemente care te fac să crezi că termenul general al şirului ar putea fi silit să arate a sumă Riemann, atunci
    este obligaţia ta să propui funcţia integrabilă şi intervalul, tipul de diviziune, (cea cu puncte echidistante este cea mai simplă,
    la ea te gândeşti mai întâi), sistemul de puncte intermediare (care nu vor fi luate haotic, ci după un criteriu valabil pentru toate).
    Cu bine, ghioknt.

  5. xor_NTG
    maestru (V)

    Multumesc cu respect, domnule ghioknt, pentru explicatii.

  6. RomeoB

    >Nu înteleg fenomenul cu sirul de diviziuni. Nu putea să exemplifice pe o
    >singură diviziune a unui interval? Norma unui interval este cea mai mare
    >dintre lungimile intervalelor de diviziune.

    Poate un contraexemlu sa te ajute.

    Fie functia f:[0,1]->R f(x)={ 2 daca x apartine Q si f(x)=1 daca apartine R-Q

    Aceasta functie nu este integrabila Riemann si se poate demonstra acest lucru pornind de la definitie.

    Alegi siruri de diviziuni cu norma tinzand catre 0.
    1. Daca alegi puncte intermediare formate NUMAI din numere rationale, vei obtine I=2
    2. Daca alegi puncte intermediare formate NUMAI din numere apartinand R-Q, vei obtine I=1

Raspunde

Raspunde