Home/ Intrebari/Q 85237
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Felicia_b
Pe: 2014-02-02T19:12:08+02:00 In: In:

polinom

Fie n apartine nr naturale nenule, A,B,R polinoame apartinand multimii nr reale ; A=X^n+X^(2n+1)+X^(3n+2)+ … +X^(n^2+n-1) si B=X^(n-1)+X^(n-2)+ … +X+1 si R restul impartirii lui A la B. Daca s este suma patratelor coeficientilor polinomului R, atunci s = ?

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Întreabă-te, în ce caz calculul lui s ar fi cel mai simplu? Cred că şi răspunsul tau este: în cazul în care R=0, deci s=0.
    Deci dacă această problemă ar fi cu răspunsuri la alegere şi nu am timp să o rezolv, aş bifa răspunsul 0 (presupunând că există).
    Să vedem dacă am greşit. Observ că (X-1)B=X^n-1 are drept rădăcini pe 1,\,\epsilon,\,\epsilon^2,\,...\,,\epsilon^{n-1},\;unde\;\epsilon=\cos \frac{2\pi}{n}+isin \frac{2\pi}{n}
    adică rădăcinile de ordinul n ale unităţii. Cum 1 nu este rădăcina a lui B, e clar că rădăcinile lui B sunt \epsilon,\,\epsilon^2,\,...\,,\epsilon^{n-1}.
    A(\epsilon^k)=\epsilon^{nk}+\epsilon^{(2n+1)k}+\epsilon^{(3n+2)k}+\,...\,+\epsilon^{(n^2+n-1)k}=\epsilon^{nk}+\epsilon^{2nk}\epsilon^{k}+\epsilon^{3nk}\epsilon^{2k}+\,...\,+\epsilon^{n^2k}\epsilon^{(n-1)k}=
    =1+\epsilon^{k}+\epsilon^{2k}+\,...\,+\epsilon^{(n-1)k}=\frac{1-\epsilon^{nk}}{1-\epsilon^{k}}=\frac{1-1}{1-\epsilon^{k}}=0,\;\forall k=1,\,2,\,...\,,n-1.
    Deci toate rădăcinile lui B (ele sunt distincte) sunt rădăcini şi pentru A, deci B|A, deci R=0.
    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde