Salutare!
In varianta nr. 20, subiectul 3, ex. 2, zice asa:
Se considera functia:
*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[
\begin{array}{l}
f]
*** Error message:
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.
Sa se arate ca:
![\[ \int\limits_{\frac{1}{x}}^1 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_1^x {t^3 f\left( t \right)dt} ,\,\,\forall \,\,x > 0 \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ee690fd4584079dcc0f38362b8f60cea_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Prima chestie la care m-am gandit a fost sa calculez separat integralele, si apoi sa arat ca sunt egale.
Pentru prima integrala, m-am gandit sa descompun acea functie rationala, in suma de functii rationale simple prin metoda coeficientilor nedeterminati.
Deci am zis asa:
![\[ \frac{1}{{\left( {1 + t^2 } \right)\left( {1 + t^3 } \right)}} = \frac{1}{{\left( {1 + t^2 } \right)\left( {1 + t} \right)\left( {t^2 - t + 1} \right)}} = \frac{{At + B}}{{t^2 + 1}} + \frac{C}{{1 + t}} + \frac{{Dt + E}}{{t^2 - t + 1}} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-2303e1e4ea0100cf92c5c92337583cfb_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dupa amplificare si liniarizare, urmate de rezolvarea sistemului obtinut in A,B,C,D,E, am ajuns la urmatoarea forma:
![\[ \int\limits_{\frac{1}{x}}^1 {\frac{1}{{\left( {1 + t^2 } \right)\left( {1 + t^3 } \right)}}dt} = \int\limits_{\frac{1}{x}}^1 {\left( {\frac{1}{2} \cdot \frac{{t + 1}}{{t^2 + 1}} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{{t - 1}}{{t^2 - t + 1}}} \right)dt} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-72322f4bfbaf6ea2177d9ecb5ebbaa11_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
care poate fi calculata usor.
Problema apare in partea dreapta, acolo unde efectiv nu am nici o idee de rezolvare, pentru ca am acel 
la numarator.
La rezolvari zice asa:
Facem schimbarea de variabila
![\[ \frac{1}{t} = p \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f679cd7d953d3eeeb318c4ed5960471d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
si obtinem:
![\[ \int\limits_{\frac{1}{x}}^1 {\frac{1}{{\left( {1 + t^2 } \right)\left( {1 + t^3 } \right)}}dt = - \int\limits_1^{\frac{1}{x}} {\frac{1}{{\left( {1 + t^2 } \right)\left( {1 + t^3 } \right)}}dt = - \int\limits_1^x {\left( { - \frac{1}{{p^2 }}} \right)\frac{{p^5 }}{{\left( {1 + p^2 } \right)\left( {1 + p^3 } \right)}}dp = \int\limits_1^x {t^3 f\left( t \right)dt} } } } \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e0c845c21adac1bfcf366a345fbdd6a7_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Nu inteleg exact ce face…adica ok, a facut schimbarea aia de variabila ca sa ii iasa limita superioara x, dar mai departe cum face schimbarea?
Multumesc.
Prin schimbarea de variabila ,normal , se va schimba variabila initiala si lmitele integralei ,.Deci noua variabila este p=1/t
.Din aceasta relatie se deduce dt in functie de noua variabila; (1/t)’dt=(p)’.dp sau (-1/t^2.)dt=1.dp->dt=-t^2.dp , dar t=1/p deci; dt=-(1/p^2).dp .
Se schimba limitele ; Pentru t=1, din relata; p=1/t rezulta p=1 si pentru t=1/x=1/p->p=x
Se schimba in functia de integrat variabila intiala cu cea noua ; 1/[(1+t^2)(1+t^3)]+/[(1+1/p^2)(1+/p^3)=p^5/[(1+p^2)(1+p^3)]
Forma noii integrale va fi;Integrala de la x la 1 din{-(1/p^2).p^5/[(1+p^2)(1+
p^3)]}dp= Integrala de la 1 la x din{p^3/[(1+p^2)(1+p^3)]}dp
In orice integrala”denumirea variabilei” se poate schimba cu orice litera . Sa schimbam denumirea vaiabilei din p in t.. In acest caz integrala va fi ;
Integrala de la 1la xdin {t^3.[1/(1+t^2)(1+t^3)]}dt =INtegrala de la x la 1 din {t^3.f(t)dt} Intrebari?
Apropo! Semnul minus in fata inei integrale , schimba limitele integralei(-Integrala de la xla 1…=+Integrala de la 1 la x …)
Iată şi o altă abordare.
, conform formulei Leibniz-Newton. Deducem că u şi v sunt funcţii 
Deducem că funcţiile u şi v 
.
Funcţiile f şi t^3f fiind continue pe [0; oo), admit primitive pe acest interval; fie g, respectiv h, primitive ale lor. Atunci
derivabile pe (0; oo) si
diferă printr-o constantă pe acel interval: u(x)=v(x)+k
Însă
Sper că m-am făcut înţeles.
Cu bine, ghioknt.
Am inteles. Multumesc mult pentru ajutor!