Home/ Intrebari/Q 85042
Urmator
In Process
asdf
user (0)
Pe: 2014-01-19T14:30:20+02:00 In: In:

f continue

Determina f:R→R continua asa incat f(3x+1)-f(2x+1)=x, oricare ar fi x∈R

Similare

2 raspunsuri

  1. profesor

    f(x)=x->f(3x+1)-f(2x+1)=3x+1-(2x+1)=x

    • 0
  2. profesor

    Fie x_0 un număr real arbitrar, precum şi şirul x_n=1+(\frac{2}{3})^n(x_0-1),\;\forall n\geq0, al cărui prim termen este chiar x_0 şi
    a cărui limită este 1. Nu sunt greu de verificat următoarele relaţii, care au loc \forall n\geq1.
    x_{n-1}-x_n=\frac{1}{3}(\frac{2}{3})^{n-1}(x_0-1);
    3(x_{n-1}-x_n)+1=(\frac{2}{3})^{n-1}(x_0-1)+1=x_{n-1};
    2(x_{n-1}-x_n)+1=(\frac{2}{3})^n(x_0-1)+1=x_n şi, în consecinţă,
    f(x_{n-1})-f(x_n)=f(3(x_{n-1}-x_n)+1)-f(2(x_{n-1}-x_n)+1)=x_{n-1}-x_n pe care o scriem pentru o secvenţă
    de valori ale lui n:
    n=1:\;\;\;f(x_0)-f(x_1)=x_0-x_1
    n=2:\;\;\;f(x_1)-f(x_2)=x_1-x_2
    ……………………
    n=1:\;\;\;f(x_{n-1})-f(x_n)=x_{n-1}-x_n şi din însumarea cărora obţinem:
    n=1:\;\;\;f(x_0)-f(x_n)=x_0-x_n. Aici trecem la limită şi pentru că x_n\rightarrow1\Rightarrow f(x_n)\rightarrow f(1), căci f este continuă.
    Aşadar f(x_0)=x_0+f(1)-1. Dar x_0 este arbitrar ales, aşa că putem spune că legea de corespondenţă a unei
    soluţii trebuie să fie de forma f(x)=x+a, a arbitrar. Reciproc, pentru orice a real, f(x)=x+a verifică relaţia din ipoteză, deci
    aceasta este soluţia generală a ecuaţiei funcţionale.
    Cu bine, ghioknt.

    • 0
Raspunde

Raspunde