Home/ Intrebari/Q 84982
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Marius963
Pe: 2014-01-15T13:37:39+02:00 In: In:

functii

Se consideră funcţia f :R→R, f (x) = x arctg x − ln(1+ x^2 ) .

a)Să se arate că funcţia f ‘ este mărginită.
b)Să se demonstreze că f (x) ≥ 0,∀x∈R.

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    a) f'(x)=(x)'arctgx+x(arctgx)'-\frac{(1+x^2)'}{1+x^2}=arctgx+\frac{x}{1+x^2}-\frac{2x}{1+x^2}=arctgx-\frac{x}{1+x^2}.
    f''(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{1+x^2-2x\cdot x}{(1+x^2)^2}=\frac{2x^2}{(1+x^2)^2}\geq 0\;\forall x\in \mathbb{R}, egalitatea având loc într-un singur punct ( în 0),
    deci f’ este strict crescătoare. În consecinţă \underset{x\in \mathbb{R}}{inf}f'(x)=\lim_{x\to\,-\infty }f'(x)=-\frac{\pi }{2}-0=-\frac{\pi }{2} si
    \underset{x\in \mathbb{R}}{sup}f'(x)=\lim_{x\to\infty }f'(x)=\frac{\pi }{2}-0=\frac{\pi }{2} ceace demonstrează mărginirea lui f’.
    b) Observăm că f'(0)=0; cum f’ este strict crescătoare, deducem că f'(x)<0 pe (-oo; 0) şi f'(x)>0 pe (0; oo). Consecinţele pentru
    f sunt: f este strict descrescătoare pe (-oo; 0], este strict crescătoare pe [0; oo) şi f(x)\geq\,f(0)=0,\,\forall x\in \mathbb{R}.
    Cu bine, ghioknt.

  2. Marius963

    Multumesc frumos!…pentru toate raspunsurile oferite.

Raspunde

Raspunde