Home/ Intrebari/Q 84976
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Annaaa
Pe: 2014-01-14T17:36:05+02:00 In: In:

Integrala nedefinita

Am de calculat integrala din (x^(5n-1)+x^(n-1))/(1+x^6n)… nu am nicio idee

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Pentru început: t=x^n\Rightarrow\,dt=nx^{n-1};\;\int\frac{x^{5n-1}+x^{n-1}}{x^{6n}+1}dx= \frac{1}{n}\int\frac{x^{4n}+1}{x^{6n}+1}\cdot\,nx^{n-1}dx care, după schimbare, devine:
    \frac{1}{n}\int\frac{t^4+1}{t^6+1}dt. În lipsa unei metode mai bune, se descompune fracţia de sub integrală în fracţii simple.
    t^6+1=(t^2+1)(t^4-t^2+1)=(t^2+1)([(t^2+1)^2-3t^2]=(t^2-1)(t^2-\sqrt{3}t+1)(t^2+\sqrt{3}t+1), deci vor rezulta 3 fracţii
    simple, având ca numitori cele 3 paranteze. Încerc o diversiune. Observ că suma ultimelor 2 paranteze este 2(t^2+1),
    aşa că mi-ar plăcea o descompunere: \frac{a}{t^2+1}+\frac{2(t^2+1)}{t^4-t^2+1}=\frac{a(t^4-t^2+1)+2(t^4+2t^2+1)}{t^6+1}.
    Caut a şi b a. î. a(t^4-t^2+1)+2(t^4+2t^2+1)=b(t^4+1) care se dovedeşte posibilă dacă a+2=b şi -a+4=0, deci a=4, b=6. Aşadar
    \frac{6(t^4+1)}{t^6+1}=\frac{4}{t^2+1}+\frac{2(t^2+1)}{t^4-t^2+1}=\frac{4}{t^2+1}+\frac{1}{t^2-\sqrt{3}t+1}+\frac{1}{t^2+\sqrt{3}t+1}.
    \frac{1}{n}\int\frac{t^4+1}{t^6+1}dt=\frac{1}{6n}[4\int\frac{1}{t^2+1}dt+\int\frac{1}{(t-\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}dt+\int\frac{1}{(t+\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}dt]=\frac{1}{6n}[4arctgt+2arctg(2t-\sqrt{3})+2arctg(2t+\sqrt{3})+C.
    Revenim la x şi obţinem: \int\frac{x^{5n-1}+x^{n-1}}{x^{6n}+1}dx=\frac{1}{3n}[2arctgx^n+arctg(2x^n-\sqrt{3})+arctg(2x^n+\sqrt{3})+C – primitivă pe R.
    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde