Home/ Intrebari/Q 84921
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Jaxon
Pe: 2014-01-10T18:53:27+02:00 In: In:

Imaginea functiei sin+cos

Salutare am dat peste o problema in cartea de admitere la politehnica.

f: (-pi/2 , pi/2)->R ; f(x)=sin(x)+cos(x)

Imaginea functiei este :
a)(-1,sqrt(3))
b)(-sqrt(2)/2,sqrt(2)/2)
c)(-1,sqrt(2))
d)(-sqrt(2)/2,1)
e)(-1,-sqrt(2)/2)
f)(-sqrt(2),sqrt(2))

In mod normal ar trebuii sa fie (-1,1) cred , dar nu este la raspunsuri . Are cineva vreo idee cum se rezolva? (sqrt e functia radical)

Similare

6 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Este bine să ştii că expresia asin x+bcos x se mai scrie \sqrt{a^2+b^2}sin(x+t), unde t este o soluţie a sistemului cost=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}};\;sint=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}.
    Aici a=1, b=1, deci cost=sint=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow\,t=\frac{\pi}{4},\;iar\;f(x)=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4}).
    Se ştie că funcţia sinus este crescătoare pe [-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}] şi descrescătoare pe [\frac{\pi}{2};\,\pi]. Dacă x\in(-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{4}],\;atunci\;x+\frac{\pi}{4}\in(-\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi}{2}]
    şi valorile lui f cresc de la \sqrt{2}sin(-\frac{\pi}{4})\;la\;\sqrt{2}sin\,\frac{\pi}{2}, adică de la -1 (exclusiv) la \sqrt{2} (inclusiv); în continuare valorile scad până la \frac{\sqrt{2}}{2}.
    Răspunsul corect este (-1;\,\sqrt{2}], adică niciuna dintre variante; vezi unde ai greşit.
    Se mai putea transforma suma în produs, sau se mai putea studia monotonia funcţiei cu ajutorul derivatei.
    Cu bine, ghioknt.

  2. Green eyes
    maestru (V)

    Bună seara domnule Ghioknt,

    Conform enunţului, \bl x\in\left(-\frac{\pi}{2},\;\frac{\pi}{2}\right), ambele paranteze sunt rotunde.

    Deci, în loc de \re Dac\check{a}\;x\in\left(-\frac{\pi}{2};\;\frac{\pi}{4}\right],\;atunci\;x+\frac{\pi}{4}\in\left(-\frac{\pi}{4};\;\frac{\pi}{2}\right] ar fi trebuit să fi scris \gr Dac\check{a}\;x\in\left(-\frac{\pi}{2};\;\frac{\pi}{2}\right),\;atunci\;x+\frac{\pi}{4}\in\left(-\frac{\pi}{4};\;\frac{3\pi}{4}\right).

    Enunţul este corect, soluţia corectă este cea de la punctul c.

    Vă rog să revedeţi soluţia propusă de dumneavoastră şi să o amendaţi, pe ici, pe colo, unde este cazul. Vă mulţumesc anticipat.

    O altă soluţie ar fi soluţia grafică, poate cea mai elegantă, după părerea mea.

    Cu respect,
    Green eyes.

  4. ghioknt
    profesor

    Bună seara domnule Green eyes,

    Am afirmat că răspunsul c) (-1;\,\sqrt{2}) este scris greşit, nu pentru că intervalul (-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}) este deschis la dreapta, ci pentru că, în mintea mea,
    \frac{\pi}{4} este în interiorul intervalului (-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}),\;iar\;f(\frac{\pi}{4})=\sqrt{2}, deci orice răspuns care nu conţine şi această valoare este incorect.
    Eu speram că am reuşit să conving juriul format din cititorii mei că f(\frac{\pi}{4}) este valoarea maximă, semnalând că f este strict crescătoare
    pe (-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{4}] şi strict descrescătoare pe [\frac{\pi}{4};\,\frac{\pi}{2}), dar despre acest al doilea interval, am scris doar ‘‘în continuare …’‘

    Vă mulţumesc pentru că urmăriţi cu spirit critic cele scrise de mine; îmi doresc să am mai multe asemenea reacţii, mai ales din
    partea ”beneficiarilor”.

    Cu stimă, ghioknt.

  5. grapefruit
    maestru (V)

    Domnule ghioknt,am si eu o intrebare ,poate puerila si iesita poate din neintelegerea problemei,pe intervalul (-pi/2;pi/4) functia sinus e crescatoare insa functia cosinus nu este monotana ;ori suma dintre o functie crescatoare si una nemonotona este una crescatoare?

  6. ghioknt
    profesor

    Despre suma cu pricina nu putem afirma nimic în privinţa monotoniei şi nici nu am făcut-o; tocmai deaceea am înlocuit suma
    sinx+cosx cu expresia f(x)=\sqrt{2}sin(x+\frac{\pi}{4}). Acesta este sinusul care asigură monotonia lui f, pentru că
    argumentul său, x+pi/4, parcurge intervalul (-pi/4; pi/2] atunci când x merge de la -pi/2 la pi/4.
    Cu bine, ghioknt.

  8. Lala

    Fct este minima cand sin+cos e minim, adica atunci cand unghiul e determinat de a treia bisectoare (la valoarea -√2), iar maximul ei este cu unghiul determinat de prima bisectoare (la valoare √2). Deci Imf =[-√2,√2]- varianta f.

Raspunde

Raspunde