Home/ Intrebari/Q 84790
Urmator
In Process
andrei997
user (0)
Pe: 2014-01-02T05:58:02+02:00 In: In:

algebra

1) Fie S=1/3+1/3^2+1/3^+……..+1/3^100.Aratati ca S<1/2

2) S=1/3^2+1/5^2+1/7^2+….+1/201^2.Aratati ca S<1/2

Similare

2 raspunsuri

  1. maestru (V)

    Salut,

    Cerinţa 1:

    \bl S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{\small 2}}+\frac{1}{3^{\small 3}}+...+\frac{1}{3^{\small 99}}+\frac{1}{3^{\small 100}} (1)

    Înmulţim relaţia (1) cu 1/3:

    \bl \frac{1}{3}\cdot S=\frac{1}{3^{\small 2}}+\frac{1}{3^{\small 3}}+\frac{1}{3^{\small 4}}+...+\frac{1}{3^{\small 100}}+\frac{1}{3^{\small 101}} (2)

    Scădem relaţiile (1) şi (2) membru cu membru, adică efectuăm (1) – (2). Se vor reduce foarte multe fracţii, la sfârşit avem că:

    \bl S-\frac{1}{3}\cdot S=\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{\small 101}}\Rightarrow \frac{2}{3}\cdot S=\frac{1}{3}-\frac{1}{3^{\small 101}},\;sau\;S=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 3^{\small 100}}\Rightarrow S\;<\;\frac{1}{2},\;ceea\;ce\;trebuia\;demonstrat.

    Green eyes.

    • 0
  2. maestru (V)

    Salut,

    Cerinţa 2:

    Observăm că la numitorii fracţiilor avem doar pătrate de numere pare, de forma \bl (2k+1)^{\small 2}, unde k ia valori naturale, k = 1, 2, 3, …, 100.

    Deci fiecare fracţie este de forma:

    \bl\frac{1}{(2k+1)^{\small 2}}=\frac{1}{4k^{\small 2}+4k+1}<\frac{1}{4k^{\small 2}+4k}=\frac{1}{4k\cdot(k+1)}=\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\Rightarrow \frac{1}{(2k+1)^{\small 2}}<\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) (1)

    Scriem inegalitatea (1) pentru k = 1, 2, 3, …, 99, 100:

    \bl\frac{1}{3^{\small 2}}<\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)
    \bl\frac{1}{5^{\small 2}}<\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)
    \bl\frac{1}{7^{\small 2}}<\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)
    …
    \bl\frac{1}{199^{\small 2}}<\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)
    \bl\frac{1}{201^{\small 2}}<\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{100}-\frac{1}{101}\right)

    Dacă adunăm toate aceste 100 de inegalităţi membru cu membru, în membrul stâng vom obţine chiar suma S din enunţ, iar în membrul drept avem fracţia 1/4 drept factor comun, iar din toţi termenii rămân primul şi ultimul, restul se reduc 2 câte 2:

    \bl S<\frac{1}{4}\cdot \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{101}\right)\Rightarrow S<\frac{1}{4}-\frac{1}{404}<\frac{1}{2},\;ceea\;ce\;trebuia\;demonstrat.

    De fapt, suma S este chiar mai mică decât 1/4, dar trebuie să respectăm cerinţa din enunţ.

    Green eyes.

    • 0
Raspunde

Raspunde