Home/ Intrebari/Q 84758
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

cosmin_k
Pe: 2013-12-28T21:26:21+02:00 In: In:

grupuri

Fie multimea

    \[M = \left\{ {\left. {\left( {\begin{array}x&{ax + b}\\ 0&1 \end{array}} \right)} \right|x \in {R^*}} \right\}\]

.
a). Sa se determine a,b din R* astfel incat (M,*) sa fie grup.
b). Sa se arate ca toate grupurile obtinute la a) sunt izomorfe.

Similare

3 raspunsuri

  1. DD
    profesor

    Cred ca se stie ca inmultirea matricilor este asociativa deci;Ca matricea rezultanta sa apartina multimii M trebue ca ; a+b=0->b=-a. Fie matricea element neutru ;si trebue sa avem;Rezulta ;e=1si matricea element neutru va fi; I2.Pentru element simetrizabil trebue sa avem ;
    Deci a=0 si elementul general din M va fi ; si (M,*) este grup comutativ(abelian)

  2. DD
    profesor

    (continuare)Din relatia de definitie a elementului simetrizabil matricea rezultata din inmultie are elementul (1,2) gresit .Trebuia; axx’-ax’+ax’-a de unde xx’=1 sau x’=1/x si elementul general al multimii M este .Fie doua multimi
    Ma si Mb Cu elementele; Fie F :Ma->Mb unde F(x)=x.Cum F(x) este bijectiva pentru izomorfism trebue sa mai avem;F(A*B)=F(A)*F(B) unde A si B sunt elemente din Ma adica A=iar F(A)=Deci;
    A.B=si F(A.B)=
    =F(A).F(B)=

  4. ghioknt
    profesor

    Iată şi o altă abordare.
    Pentru că M trebuie să fie grup în raport cu înmulţirea matricelor, trebuie să impunem mai întâi ca M să fie parte stabilă a lui M_2(\mathbb{R})
    în raport cu înmulţirea; din care rezultă a+b=0. Putem vorbi atunci de mulţimea M_a ale cărei elemente sunt matriceleA(x)=\left(\begin{matrix}x&ax-a\\0&1\end{matrix}\right).
    Fie f:\mathbb{R}^*\to\,M_a,\;f(x)=A(x). Ea este surjectivă pentru că orice matrice din M_a este imaginea unui x nenul şi este
    injectivă deoarece x_1\,\neq\,x_2\,\Rightarrow\,A(x_1)\,\neq\,A(x_2). În plus A(x_1)A(x_2)=A(x_1x_2)=f(x_1x_2), deci f are
    toate atributele unui izomorfism. Acest lucru este suficient pentru a spune că, pentru orice a, functia f induce pe M_a o structură de grup
    abelian, izomorf cu (\mathbb{R}^*,\;\cdot); deci toate grupurile (M_a,\,\cdot) sunt izomorfe între ele, fiind izomorfe cu un acelaşi grup.
    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde