Home/ Intrebari/Q 84756
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Bogdan.Vulpoiu
Pe: 2013-12-28T14:36:20+02:00 In: In:

Inversarea functiei trigonometrice

Deci am arctg2 + arctg 3 = 3pi/4 si trebuie sa demonstrez ca egalitatea e adevarata. Stiu ca notez membrul stang cu x si cel drept cu y. Arat ca tg(x)=tg(y) insa nu stiu cum sa vad carui cadran apartine arctg 2 + arctg 3 🙁. Un ajutor ar fi mai mult decat folositor avand in vedere ca sunt in situatie de corigenta 🙂

Similare

6 raspunsuri

  1. gunty
    maestru (V)

    Ai relatia

        \[ arctg\left( x \right) + arctg\left( y \right) = arctg\left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}}} \right) + \left\{ \begin{array}{l} \pi ,\quad daca\;x,y > 0 \\ - \pi ,\quad daca\;x,y < 0 \\ 0,\quad alte\;cazuri \\ \end{array} \right.. \]

    Pui x=2, y=3 si primesti arctg(2)+arctg(3)=arctg(-1)+pi=-pi/4+pi=(3/4)pi.

  2. Green eyes
    maestru (V)

    Salut,

    Îţi ofer o soluţie completă, relativ uşor de urmărit.

    Pentru a demonstra relaţia poţi aplica tg la relaţia din enunţ: tg(membrul stâng)=tg(membrul drept).

    Unghiul 3PI/4 este 3*180/4 = 135 de grade, deci unghiul se află în cadranul al doilea (între 90 de grade şi 180 de grade).

    În cadranul al doilea, sinusul este pozitiv, iar cosinusul este negativ (vezi cercul trigonometric), deci tangenta care este împărţirea între sinus şi cosinus este negativă.

    \bl tg\left(\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\sin\frac{3\pi}{4}}{\cos\frac{3\pi}{4}}=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{4}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2\pi}{4}\right)}=\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{\sin\frac{\pi}{4}\cdot\cos\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi}{4}\cdot\sin\frac{\pi}{2}}{\cos\frac{\pi}{4}\cdot\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{2}\cdot\sin\frac{\pi}{2}}=\frac{\frac{\sqrt2}{2}\cdot 0+\frac{\sqrt2}{2}\cdot 1}{\frac{\sqrt2}{2}\cdot 0-\frac{\sqrt2}{2}\cdot 1}=-1,\;deci\;\fbox{tg\left(\frac{3\pi}{4}\right)=-1}

    Pentru a lămuri membrul stâng, ştim că:

    \bl tg(a+b)=\frac{tga+tgb}{1-tga\cdot tgb} şi \bl tg(arctgx)=x. Aplicăm cele 2 relaţii:

    \bl tg(arctg2+arctg3)=\frac{tg(arctg2)+tg(arctg3)}{1-tg(arctg2)\cdot tg(arctg3)}=\frac{2+3}{1-2\cdot 3}=\frac{5}{-5}=-1.

    Din cele de mai sus, rezultă clar că membrul stâng din enunţ este egal cu membrul drept din enunţ.

    După cum ai constatat, este bine să ştii teoria despre cercul trigonometric, câteva formule fundamentale ale trigonometriei. Spor la învâţat şi baftă mare la corigenţă.

    Green eyes.

  4. Bogdan.Vulpoiu

    Eu am invatat ca daca tg(x) = cu tg(y) atunci x si y sunt egale doar daca apartin aceluiasi cadran.

    Si problema mea era: cum imi dau seama carui cadran apartine arctg(2) + arctg (3).

  5. ghioknt
    profesor

    Presupun că ştii că dacă x>0, atunci arctgx este în cadranul I, iar din tg(arctg2+arctg3)=-1<0,rezultă că arctg2+arctg3 este în II sau IV;
    Dar poate suma a 2 numere din cadranul I să aungă tocmai în IV? Parcă nu; deci este în II, unde se află şi (5pi)/4.
    Sau, funcţia arctg fiind crescătoare, iar 2 şi 3 mai mari ca 1 avem pi/4=arctg1<arctg2<pi/2; pi/4<arctg3<pi/2; adunând:
    pi/2<arctg2+arctg3<pi, ceeace înseamnă cadranul II.
    Cu bine, ghioknt.

  6. Bogdan.Vulpoiu

    Mersi frate. De 2 zile tot caut rezolvare la treaba asta 🙂).

    Si acum realizez ca era mai simplu decat credeam 🙂)

  8. ghioknt
    profesor

    Asta încerc să conving pe cât mai mulţi: că matematica e uşoară; greu este doar să-ţi dai seama de asta …
    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde