Home/ Intrebari/Q 84506
Urmator
In Process
dennis9091
guru (IV)
Pe: 2013-12-07T11:09:16+02:00 In: In:

Algebra

Fie a,b,c>0 astfel incat a^2+b^2+c^2=3. Aratati ca:
a/(a+3) + b/(b+3) + c/(c+3) <= 3/4.

Similare

4 raspunsuri

  1. profesor

    Vom folosi următoarea propoziţie: Fie o funcţie f:I->R (I – interval) cu proprietatea: \forall\,u,\,v\,\in\,I:\;\frac{f(u)+f(v)}{2}\leq\,f(\frac{u+v}{2}), atunci \forall\,x_1,\,x_2,...,x_n\in\,I,\;n\geq\,2:\;\frac{f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)}{n}\geq\,f(\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}).
    O funcţie cu proprietatea din ipoteză se numeşte funcţie concavă in sens Jensen; cu inegalităţile inverse, se numeşte convexă Jensen.
    Să arătăm că funcţia f(x)=\frac{x}{x+3}=1-\frac{3}{x+3} este concavă. \frac{1}{2}(f(u)+f(v))\leq\,f(\frac{u+v}{2})\Leftrightarrow\,\frac{1}{2}(2-\frac{3}{u+3}-\frac{3}{v+3})\leq\,1-\frac{3}{\frac{u+v}{2}+3}\Leftrightarrow\,\frac{u+v+6}{2(u+3)(v+3)}\geq\,\frac{2}{u+v+6}\Leftrightarrow\,...\Leftrightarrow\,(u-v)^2\geq\,0, adevărat.
    Atunci \frac{a}{a+3}+\frac{b}{b+3}+\frac{c}{c+3}=f(a)+f(b)+f(c)\leq\,3f(\frac{a+b+c}{3})=3(1-\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}+3}).
    Dar din inegalitatea M_{arit}\leq\,M_{patr}:\;\frac{a+b+c}{3}\leq\,\sqrt[3]{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\Rightarrow\,\frac{a+b+c}{3}\leq\,1;\;atunci\;3(1-\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}+3})\leq\,3(1-\frac{3}{4})=\frac{3}{4}.
    Cu speranţa că ai găsit interesante aceste lucruri, cu bine, ghioknt.

    • 0
  2. guru (IV)

    Va multumesc! Inca nu am facut functia Jensen in detaliu, dar e o idee interesanta.

    • 0
  4. profesor

    Am observat o greşeala de redactare: a doua inegalitate scrisă de mine trebuie să aibă acelaşi sens cu prima.
    Ideea este că dacă o anumită inegalitate între media valorilor şi valoarea mediei este adevarată pentru oricare 2 numere
    dintr-un interval, atunci aceeaşi inegalitate are loc pentru oricare n numere din acel interval (demonstraţie prin inducţie).
    Concavitatea sau convexitatea unei funcţii se poate demonstra şi cu ajutorul derivatelor, dar cum tu eşti abia într-a 9-a …
    Cu bine,
    ghioknt

    • 0
  5. guru (IV)

    Am observat si eu acea greseala. Va multumesc din nou !

    • 0
Raspunde

Raspunde