Buna seara
Am o inductie matematica mai neclara.
Nu inteleg de ce formula din dreapta e tot un sir de fractii. De regula trebuia sa fie doar o formula.
Cum se poate rezolva?
1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 +…+ 1/(2n-1) – 1/(2n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) +…+ 1/(2n), n apartine lui N stelat.
Va multumesc mult!
Să scriem şi să verificăm mai întâi pe P(1).
Observăm că membrul I începe, obligatoriu, cu 1 şi se termină, în acest caz, cu 1/2; deci membrul I este 1-1/2.
În membrul II primul termen este 1/(1+1), iar ultimul este 1/(2*1), deci membrul II are un singur termen, 1/2.
Aşadar P(1) se scrie 1-1/2=1/2 şi este adevarată.
Să scriem acum pe P(n+1).
Observăm că în membrul I trebuie să mai adăugăm, faţă de P(n), doi termeni: +1/(2n+1)-1/(2n+2).
În membrul II primul termen va fi 1/(n+1+1)=1/(n+2), iar ultimul va fi 1/2(n+1)=1/(2n+2).
Aşadar P(n+1) se scrie: 1-1/2+…+1/(2n-1)-1/(2n)+1/(2n+1)-1/(2n+2)=1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n)+1/(2n+1)+1/(2n+2).
Fie n una din valorile pentru care P(n) este adevarată. Putem atunci să scriem:
1-1/2+…+1/(2n-1)-1/(2n) +1/(2n+1)-1/(2n+2)=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n) +1/(2n+1)-1/(2n+2)=
=1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n)+1/(2n+1)+[1/(n+1)-1/(2n+2)]=1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(2n)+1/(2n+1)+1/(2n+2) (am adus la acelaşi numitor în paranteza dreaptă). Am demonstrat deci că P(n+1) este adevărată pentru orice n pentru care P(n) este adevărată.
Cum P(1) este adevărată, deducem că toate propoziţiile P(n) sunt adevărate, n>=1.
Cu bine, ghioknt.
Multumesc mult de tot…nu m-am gandit ca e cu 2 termeni…