Home/ Intrebari/Q 84278
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

andi20
Pe: 2013-11-24T10:24:47+02:00 In: In:

Ajutor inegalitate

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Evident că funcţia f(x)=e^{-x^2} este strict descrescătoare pe [0; 1], deci f(1)<=f(x)<=f(0) sau 1/e<=f(x)<=1, de unde
    \frac{1}{e}(1-0)\le\int\limits_{0}^{1}e^{-x^2}dx\le1(1-0), ceeace nu demonstrează deâat pe prima dintre cele 2 inegalitaţi.
    Pentru a doua voi face schimbarea de variabilă x=tg t; funcţia tg este stict crescătoare pe [0; pi/4] şi acoperă cu valori exact intervalul [0; 1].
    Mai avem dx=\frac{1}{cos^2t}dt=(1+tg^2t)dt;\,\,\,\int\limits_{0}^{1}e^{-x^2}dx=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{-tg^2t}(1+tg^2t)dt.
    Consider funcţia h(x)=e^{-x}(1+x),\,\,x\in[0;1];\,\,\,h'(x)=-e^{-x}(1+x)+e^{-x}=-xe^{-x}\le0\,\,pe\,\,[0;1], deci h este strict descrescătoare
    pe [0; 1]; aşadar h(x)\leh(0)=1 pe [0; 1].
    Pentru t\in[0;\frac{\pi}{4}]\,\,tg^2t\in[0;1]{\Rightarrow}h(tg^2t)\le1\,\,\,\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{-tg^2t}(1+tg^2t)dt\le1(\frac{\pi}{4}-0), ceeace demonstrează a doua inegalitate.
    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde