Home/ Intrebari/Q 84268
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

classius
user (0)
Pe: 2013-11-23T16:42:21+02:00 In: In:

Limita

Sa se calculeze:

\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n arctg(1+k+k^2)

Multumesc!

Similare

5 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    1+k+k^2>1{\Rightarrow}arctg(1+k+k^2)>\frac{\pi}{4}{\Rightarrow}\sum\limits_{k=1}^narctg(1+k+k^2)>n\frac{\pi}{4}. Deci limita cerută este +oo. Cred că exercitiul este greşit, fiind prea simplu. Mai interesant ar fi fost \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^narcctg(1+k+k^2).
    Fie arctg(1+k)=u,\,\,\,arctgk=v,\,\,\,deci\,\,tgu=1+k,\,\,\,tgv=k;\,\,\,ctg(u-v)=\frac{1}{tg(u-v)}=\frac{1+tgutgv}{tgu-tgv}=1+k+k^2{\Rightarrow}arcctg(1+k+k^2)=
    =arcctg\,ctg(u-v)=u-v=arctg(1+k)-arctg\,k{\Rightarrow}\sum\limits_{k=1}^narcctg(1+k+k^2)=\sum\limits_{k=1}^n(arctg(1+k)-arctg\,k)=arctg(1+n)-arctg\,1=
    =arctg(1+n)-\frac{\pi}{4}. Limita ar fi \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.
    Cu bine, ghioknt.

    • 0
  2. grapefruit
    maestru (V)

    Am si eu o intrebare pentru domnul ghioknt,de ce la functia arcctg nu putem aplica acelasi principiu ca la functia arctg din primul exemplu?

    • 0
  4. ghioknt
    profesor

    Mulţumesc de întrebare.
    Răspuns: pentru că funcţia arcctg este (strict) descrescătoare, în timp ce funcţia arctg este (strict) crescătoare; arcctg(1+n+n^2)<pi/4, ceeace nu luminează cu nimic problema limitei.
    Este util de ştiut: dacă o funcţie f este continuă pe un interval (a; b), atunci mulţimea valorilor este tot un interval (m; M) (a, b, m, M sunt în R barat, m=inf f(x), M=sup f(x)) Dacă în plus ştim că f este crescătoare, atunci \lim\limits_{x\to{a}}f(x)=m\,\,\,\lim\limits_{x\to{b}}f(x)=M,
    iar dacă f este descrescătoare: \lim\limits_{x\to{a}}f(x)=M\,\,\,\lim\limits_{x\to{b}}f(x)=m.
    Aplicaţii. Ştim că arctg:(-\infty;\,\infty){\rightarrow}(-\frac{\pi}{2};\,\frac{\pi}{2}) este strict crescătoare, deci \lim\limits_{x\to{-\infty}}arctgx=-\frac{\pi}{2},\,\,\,\lim\limits_{x\to{\infty}}arctgx=\frac{\pi}{2}.
    arcctg:(-\infty;\,\infty){\rightarrow}(0;\,{\pi}) este strict descrescătoare, deci \lim\limits_{x\to{-\infty}}arcctgx={\pi},\,\,\,\lim\limits_{x\to{\infty}}arcctgx=0.
    Deaceea arcctg(1+n+n^2) -> 0 şi arctg(1+n) -> pi/2.
    Cu bine, ghioknt.

    • 0
  5. grapefruit
    maestru (V)

    Daca am inteles ,in primul caz suma data >n*pi/2 si trecad la limita obtinem ca limita sumei >oo =) limita sirului este infinit.
    La a doua limita daca facem la fel obtinem limita sumei <n*pi/2 adica limita sirului <00 si practic nu am rezolvat nimic.(deoarece nu stim exact cat este)

    • 0
  6. ghioknt
    profesor

    Ai inteles foarte bine 😀
    Intrebarile sunt binevenite din partea oricui, ghioknt.

    • 0
Raspunde

Raspunde