Un ajutor va rog!!!Am teza saptamana asta si nu stiu sa rezolv 3 din problemele pe care ni l-ea dat la scoala orientativ .Sper sa ma ajute cineva macar pentru una din ele.
1.Fie ABC un triunghi si M un punct pe latura (BC).Sa se arate ca centrele de greutate ale triunghiurilor ABC,ABM ,ACM sunt coliniare.
2.Fie A1,A2,A3,A4,A5,A6, mijloacele laturilor unui hexagon convex.Sa se arate ca triunghiurileA1A3A5 si A2A4A5 au celasi centru de greutate.
3.Se considera punctul O interior patrulaterului convex BCD si G1,G2,G3,G4 centrele de greutate ale triunghiurilor OAB ,OBC ,OCD ,ODA.Sa se demonstreze ca patrulaterul G1G2G3G4 este un paralelogram.
1)Fie D mijlocul lui BC si AD mediana in triunghiul ABCPe AD fie G asa ca DG/AD=1/3In acest caz G estecentrul de greutate al triunghiului ABC. Fie E jumatea seg BM Si ceviana AM.La fel, fie F jumatea lui MC si ceviana Af .Pe AEfie G’asa ca EG’/AE=1/3 si pe AF fie G”asa ca FG”/AF=1/3 In acest cazG’
siG” sunt centrele de greutate ala triunghiurilor ;AMB respectiv AMC.Deci;
DG/AD=EG’/AE=FG”/AF=1/3. Conf. reciprocii teoremei lui Thales cele 3 puncte se vor afla pe o dreapta paralela la BC
2)Fie hexagonul convex oarecare ABCDEF si ; A1 A2 , A3 , A4 , A5 , A6,jumatatile laturilor acestui hexagon incepand cu latura AB . Fie triunghiurile
A1A3A5 si A2A4A6.Fie H jumatea laturii A3A5 si J jumatea laturii A2A6. si A1H respectiv A4J medianele in ele doua triunghiuri.Sa unim pe; A2 cu A3 si fie K jumatea seg.A2A3 , pe B cu K si fie L jumatea lui BK , pe D cu K si fie M jumatea lui KDpe A5 cu A6 si fie N jumatea lui A5A6 , Pe N cu A si fie O jumatea lui AN , pe E cu N si fie P jumatea lui NE , pe N cu K si fie G jumatea lui KN , pe L cu O si fie R jumatea lui LO , pe M cu P si fie S jumatea lui MP.
Sa ramintim o problema ; Intrun patrulater comvex , jumatea laturilor formeaza u paralelogram la care diagonalele (segmentele care unesc jumatatile opuse-capetele si jumatea unei diagonale sunt colineare ) se taie la jumate . Astfel vom avea;
Fie patrulaterul LOA3A5 in care punctele ;H , G , R sunt coloneare cu G jumatea lui HR. In patrulaterul ABKN,punctele A1, R , G sunt colineare R fiind jumatea lui A1G . deci A1R=RG =GH->g ste centrul de greutate la triunghiului A1A3A5.
Fie patrulaterul A2A6MP punctele ; J G , S sunt colineare si G este jumatea lui JS. In patrulaterul KNDE, punctele G , S , A4 sunt colineare si S este jumatea lui GA4 < DEci JG=GS=SA4->G este centrul de greutATE sI AL TRIUNGHIULUI A2A4A6
3)Fie patrulaterul oarecare ABCD si fie E ,F ,G ,H jumatatile laturilor, incepand cu latura AB .Fie un punct O in interiorul patrulaterului si . sa unim pe O cu varfurile si jumatatile laturilor patrulaterului . Fie G1 , G2 , G3 , G4 puncte pe OE , OF , OG , OH asa ca EG1/OE=FG2/FO=GG3/GO=HG4/HO=1/3 In acest caz ; G1 , G2 , G3 , G4 sunt centrele de greutate ale triunghiurilor respective.Sa unim pe; E cu H , pe B cu D , pe G1 cu G4 , pe G2 cu G3 , pe F cu G . Se vede ca ; EH si FG sint linii mijlocii in triunghiurile ;ABD respectiv BCDasa ca ; EH//=FG//=BD/2 IN triUNGHIURILE EOH si FGO , conf teoremei lui THales G1G4=//EH.(2/3)//=BD/3 si G2G3=//FG.(2/3)=//BD/3. deci G1G4=//G2G3 si G1G2G3G4 esteparalelogram
Dacă eşti în clasa a 11-a, ai învăţat încă 3 metode de abordare a unor asemenea probleme.
1. Ataşezi punctelor coordonate;
2. Ataşezi punctelor vectori de poziţie în raport cu un punct Q.
3. Ataşezi punctelor afixe – numere complexe
Coordonatele, sau vectorul de poziţie, sau afixul mijlocului unui segment vor fi mediile aritmetice ale coordonatelor, vectorilor de poziţie, sau afixelor capetelor segmentului, iar coordonatele, sau vectorul de poziţie, sau afixul centrului de greutate al unui triunghi vor fi mediile aritmetice ale coordonatelor, vectorilor de poziţie, sau afixelor vârfurilor triunghiului.
La prima problemă, pentru a introduce coordonate, aleg un reper cât mai convenabil; originea să fie B, axa Ox să fie BC, iar axa Oy va fi perpendiculara în B pe BC. Vom avea
.
Dacă G este centrul de greutate al lui ABC, G_1 al lui ABM, G_2 al lui ACM, avem
Cele 3 puncte având aceeaşi ordonată, se află pe o paralelă la Ox, adică la BC, deci sunt coliniare.
La a 2-a problemă, fie ABCDEF hexagonul. Avem
.
, deci cele 2 centre de greutate coincid.
Acelaşi rezultat se obţine şi pentru vectorul
La a treia problemă, fie
afixele ataşate celor 4 puncte.
si
![[G_1G_3],\,\,[G_2G_4]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ba2a4a623278356e51c25bf8407af084_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
au acelaşi mijloc, deci ele sunt diagonalele unui paralelogram.
Avem
ceeace arată că segmentele
Cu bine, ghioknt.
Multumesc mult de tot!
Mie de ce imi apare ceva cu roşu că nu pot citii? nici eu nu ştiu să le fac.. sunt clasa a 9-a şi teza este peste săptămâni şi la geometrice sunt 0..
?
Dai clic dreapta pe butonul citeaza si descghizi intr-un nou tab. Aici, in locul fiecarui dreptunghi rosu, apare o secventa
scrisa in cod Latex. S-ar putea sa o intelegi, sau nu (fiind tu nou pe forum). Daca nu, selectezi o secventa – cuprinsa intre [t e x] si [/t e x] – si o transporti cu copy – paste aici:
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php in dreptunghiul colorat.
Mai tastezi un spatiu si, daca ai noroc, iti apare traducerea in ”limba matematica” a textului codat.
Inainte de a transporta alta secventa, e bine sa dilesti cele scrise in dreptunghiul colorat.
Fiind in clasa a 9-a, cred ca trebuie sa adaptezi metoda vectoriala la toate cele 3 probleme.