Home/ Intrebari/Q 84177
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Marius963
Pe: 2013-11-18T16:51:03+02:00 In: In:

help

Sa se calculeze (1+i)^10+(1-i)^10

Similare

1 raspuns

  1. Green eyes
    maestru (V)

    Salut,

    \bl Fie\;z=(i+1)^{\small 10}+(i-1)^{\small 10}=z_{\small 1}+z_{\small 2}.

    Numărul complex z1=i+1 are reprezentarea geometrică în cadranul I, pentru că a1=+1 (axa orizontală) şi b1 =+1 (axa verticală). Te las pe tine să faci desenul, pentru a înţelege mai bine.

    \bl tg\alpha_{\small 1}=\frac{|b_{\small 1}|}{|a_{\small 1}|}=\frac{|1|}{|1|}=1,\;deci\;\alpha_{\small 1}=\frac{\pi}{4}.

    Modulul lui z1 este:
    \bl r_{\small 1}=\sqrt{a^{\small 2}_{\small 1}+b^{\small 2}_{\small 1}}=\sqrt{1^{\small 2}+1^{\small 2}}=\sqrt2,\;deci\;z_{\small 1}=\sqrt2\cdot\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\cdot\sin\frac{\pi}{4}\right),\;de\;aici:\;z^{\small 10}_{\small 1}=(\sqrt2)^{\small 10}\cdot\left(\cos\frac{10\pi}{4}+i\cdot\sin\frac{10\pi}{4}\right)=\\=2^{\small 5}\cdot\left(\cos\frac{5\pi}{2}+i\cdot\sin\frac{5\pi}{2}\right)=2^{\small 5}\cdot\left[\cos\left(2\cdot\pi+\frac{\pi}{2}\right)+i\cdot\sin\left(2\cdot\pi+\frac{\pi}{2}\right)\right]=2^{\small 5}\cdot\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\cdot\sin\frac{\pi}{2}\right)=2^{\small 5}\cdot(0+i\cdot 1)=2^{\small 5}\cdot i\;(1).

    Numărul complex z2=i-1 are reprezentarea geometrică în cadranul IV, pentru că a2=+1 (axa orizontală) şi b2 =-1 (axa verticală). Te las pe tine să faci desenul, pentru a înţelege mai bine.

    \bl tg\alpha'_{\small 2}=\frac{|b_{\small 2}|}{|a_{\small 2}|}=\frac{|-1|}{|1|}=1,\;deci\;\alpha'_{\small 2}=\frac{\pi}{4}\Rightarrow\alpha_{\small 2}=2\cdot\pi-\alpha'_{\small 2}=2\cdot\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4},\;deci\;\alpha_{\small 2}=\frac{7\pi}{4}.

    Modulul lui z2 este:

    \bl r_{\small 2}=\sqrt{a^{\small 2}_{\small 2}+b^{\small 2}_{\small 2}}=\sqrt{1^{\small 2}+(-1)^{\small 2}}=\sqrt2,\;deci\;z_{\small 2}=\sqrt2\cdot\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\cdot\sin\frac{7\pi}{4}\right),\;de\;aici:\;z^{\small 10}_{\small 2}=(\sqrt2)^{\small 10}\cdot\left(\cos\frac{70\pi}{4}+i\cdot\sin\frac{70\pi}{4}\right)=\\=2^{\small 5}\cdot\left(\cos\frac{35\pi}{2}+i\cdot\sin\frac{35\pi}{2}\right)=2^{\small 5}\cdot\left[\cos\left(16\cdot\pi+\frac{3\pi}{2}\right)+i\cdot\sin\left(16\cdot\pi+\frac{3\pi}{2}\right)\right]=2^{\small 5}\cdot\left(\cos\frac{3\pi}{2}+i\cdot\sin\frac{3\pi}{2}\right)=2^{\small 5}\cdot(0-i\cdot 1)=-2^{\small 5}\cdot i\;(2).

    Din relaţiile (1) şi (2) rezultă că z=0.

    Green eyes.

Raspunde

Raspunde