Home/ Intrebari/Q 84176
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

dennis9091
guru (IV)
Pe: 2013-11-18T16:05:25+02:00 In: In:

Botosani Locala 2

Consideram triunghiul ABC si D,E,F intersectiile medianelor din A,B, respectiv C cu cercul circumscris triunghiului. Sa se arate ca daca AD+BE+CF=0 (vectori) ,atunci triunghiul ABC este echilateral.

ps: Am facut ceva calcule si mi-a dat adevarata relatia din enunt indiferent de natura triunghiului ABC, am sa mai incerc odata rezolvare, posibil vreo eroare de calcul. Va multumesc!

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    În desenul tău trebuie să apară, în afară de cele 2 triunghiuri ABC şi DEF, şi punctele A’, B’, C’ – mijloacele laturilor [BC], [CA], [AB], D’, E’, F’, adică intersecţiile AD cu EF, BE cu FD, CF cu DE.
    Relaţia dată se scrie: \v{AG}+\v{GD}+\v{BG}+\v{GE}+\v{CG}+\v{GF}=\v{0}\Rightarrow\v{GD}+\v{GE}+\v{GF}=\v{GA}+\v{GB}+\v{GC}.
    Pentru că G este centrul de greutate al triunghiului ABC, membrul II este vectorul nul; aşadar şi membrul I este vectorul nul, deci G este centrul de greutate şi pentru triunghiul DEF.
    Din puterea punctului A’ faţă de cercul circumscris (sau din asemănarea triunghiurilor A’DB şi A’CA, cum doreşti) deducem A’D*A’A=A’B*A’C, A’D=a^2/(4A’A), sau încă \frac{A'D}{A'A}=\frac{a^2}{4{A'A}^2} si analoagele: \frac{B'E}{B'B}=\frac{b^2}{4{B'B}^2},\,\,\frac{C'F}{C'C}=\frac{c^2}{4{C'C}^2}.
    În continuare, pentru simplificarea scrierii, voi nota \v{AB}=\v{u},\,\,\,\v{AC}=\v{v}. Dacă G este centrul de greutate pentru DEF, înseamnă că D’ = mijl. [EF]; dar şi A’ = mijl. [BC], deci în patrulaterul BCEF are loc relaţia: \v{D'A'}=\frac{1}{2}(\v{FB}+\v{EC}).
    \v{FB}=\v{FC'}+\v{C'B}=\frac{C'F}{C'C}\cdot\v{C'C}+\frac{1}{2}\v{u}=\frac{c^2}{4{C'C}^2}(\v{C'A}+\v{AC})+\frac{1}{2}\v{u}=\frac{c^2}{4{C'C}^2}(-\frac{1}{2}\v{u}+\v{v})+\frac{1}{2}\v{u}=\frac{1}{2}[(1-\frac{c^2}{4{C'C}^2})\v{u}+\frac{2c^2}{4{C'C}^2}\v{v}]
    Analog \v{EC}=\frac{1}{2}[\frac{2b^2}{4{B'B}^2}\v{u}+(1-\frac{b^2}{4{B'B}^2})\v{v}],\,\,\,deci\,\,\,\v{D'A'}=\frac{1}{4}[(1-\frac{c^2}{4{C'C}^2}+\frac{2b^2}{4{B'B}^2})\v{u}+(\frac{2c^2}{4{C'C}^2}+1-\frac{b^2}{4{B'B}^2})\v{v}].
    Vectorii \v{D'A'},\,\,\,\v{AA'}=\frac{1}{2}(\v{u}+\v{v}) sunt coliniari, deci coordonatele lor în raport cu baza (\v{u},\,\,\v{v}) trebuie să fie proporţionale, deci să avem:
    1-\frac{c^2}{4{C'C}^2}+\frac{2b^2}{4{B'B}^2}=\frac{2c^2}{4{C'C}^2}+1-\frac{b^2}{4{B'B}^2}\Leftrightarrow\frac{b^2}{4{B'B}^2}=\frac{c^2}{4{C'C}^2}\Leftrightarrow\frac{b^2}{2(a^2+c^2)-b^2}=\frac{c^2}{2(a^2+b^2)-c^2}\Leftrightarrow...\Leftrightarrow{b}^2=c^2,
    deci dacă D’ = mijl. [EF], atunci b=c. Analog, dacă şi E’ = mijl. [FD], atunci c=a, adică triunghiul este echilateral.
    În speranţa că laşi meciul şi citeşti rezolvarea asta – alta mai acătării n-am reuşit – cu bine, ghioknt.

  2. dennis9091
    guru (IV)

    Iti multumesc mult. Am citit-o de 2 ori si am inteles-o bine. Multumesc!

Raspunde

Raspunde