Home/ Intrebari/Q 84149
Urmator
In Process
Felicia_b
user (0)
Pe: 2013-11-17T09:47:04+02:00 In: In:

integr trigonometrice

Sa se calculeze :

    \[\begin{array}{l} \int {\frac{{\sin x}}{{\cos x + 2\sin x}}\;} dx\;,x \in \left( {0,\frac{\pi }{2}} \right)\\ \int {\frac{{\sin x}}{{\sqrt {a + b\sin 2x} }}} \;dx \end{array}\]

Similare

2 raspunsuri

  1. profesor

    Pentru primul exerciţiu, notez cu I integrala dată şi consider şi J=\int\frac{cosx}{cosx+2sinx}dx.
    J+2I=\int\frac{cosx+2sinx}{cosx+2sinx}dx=\int{dx}=x+C;\,\,\,2J-I=\int\frac{2cosx-sinx}{cosx+2sinx}dx=\ln(cosx+2sinx)+C.
    Rezolvăm sistemul şi obţinem I=\frac{1}{5}(2x-\ln(cosx+2sinx))+C şi, ca bonus, J=\frac{1}{5}(x+2\ln(cosx+2sinx))+C.
    Pentru a doua integrală, pentru că nu spui nimic despre a şi b, îmi rezerv dreptul de a-l rezolva pentru b=0 si a>0 \int\frac{sinx}{\sqrt{a}}dx=-\frac{1}{\sqrt{a}}cosx+C !
    Cu bine, ghioknt.

    • 0
  2. profesor

    Dacă nu există informaţii despre a si b, discuţia este foarte stufoasă şi cel care se apucă să rezolve exerciţiul s-ar putea să muncească inutil.
    Să presupunem b>0; atunci din -1\le{sin2x}\le1\Rightarrow{a-b}\le{a+bsin2x}\le{a+b}; observ că dacă a>b, radicalul şi, implicit, funcţia de integrat sunt definite pe R.
    Totuşi voi considera mai întâi cazul mai simplu a=b; am de integrat funcţia \frac{sinx}{\sqrt{a(1+sin2x)}}=\frac{sinx}{\sqrt{a(sinx+cosx)^2}}=\frac{sinx}{\sqrt{a}|sinx+cosx|} care nu este definită în punctele de forma pi/4+kpi. Pe intervalul (-pi/4; 3pi/4) am de calculat \frac{1}{\sqrt{a}}\int\frac{sinx}{sinx+cosx}dx, iar pe intervalul (3pi/4; 7pi/4) am de calculat -\frac{1}{\sqrt{a}}\int\frac{sinx}{sinx+cosx}dx. Cu integralele I=\int\frac{sinx}{sinx+cosx}dx,\,\,\,J=\int\frac{cosx}{sinx+cosx}dx mă joc la fel ca la exerciţiul precedent şi obţin
    I=\frac{1}{2}(x-\ln(sinx +cosx)+C pe primul interval, sau I=\frac{1}{2}(x-\ln(-sinx -cosx)+C pe al doilea interval.
    Consider acum a>b>0; pot să scriu a+bsin2x=b(1+sin2x)+a-b=b[(sinx+cosx)^2+c^2,\,\,\,c^2=\frac{a-b}{b}\,\,\,sau\,\,a+bsin2x=-b(1-sin2x)+a+b=b[-(sinx-cosx)^2+d^2,\,\,\,d^2=\frac{a+b}{b}.
    Notând integrala dată cu I şi considerând şi J=\int\frac{cosx}{\sqrt{a+bsin2x}}dx\,\,scriu\,\,J-I=\frac{1}{\sqrt{b}}\int\frac{cosx-sinx}{\sqrt{(sinx+cosx)^2+c^2}}dx=\frac{1}{\sqrt{b}}\ln(sinx+cosx+\sqrt{(sinx+cosx)^2+c^2})+C
    J+I=\frac{1}{\sqrt{b}}\int\frac{cosx+sinx}{\sqrt{d^2-(sinx-cosx)^2}}dx=\frac{1}{\sqrt{b}}\arcsin{\frac{sinx-cosx}{d}}+C. Scăzând cele 2 relaţii şi ”coafând” rezultatul:
    I=\frac{1}{2\sqrt{b}}[\arcsin{\frac{\sqrt{b}(sinx-cosx)}{\sqrt{a+b}}-\ln(sinx+cosx+\frac{1}{\sqrt{b}}\sqrt{a+bsin2x})]+C.
    Pentru prima integrală: t=sinx+cosx, dt=(cosx-sinx)dx, \int\frac{1}{\sqrt{t^2+c^2}}dt=\ln(t+\sqrt{t^2+c^2})+C.
    Pentru a doua integrală: t=sinx-cosx, dt=(cosx+sinx)dx, [tex]\int\frac{1}{\sqrt{d^2-t^2}}dt=\arcsin{\frac{t}{d}}+C/tex].
    Cu bine, ghioknt.

    • 0
Raspunde

Raspunde