Home/ Intrebari/Q 84007
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

vlad29marko
Pe: 2013-11-10T10:27:55+02:00 In: In:

Exercitii geometrie plana – S I – BAC

Va salut!

Am nevoie de niste sugestii de rezolvare la urmatoarele exercitii, va rog:

1. aratati ca triunghiul cu sin^2(B)+sin^2(C)=sin^2(A) e dreptunghic;

2. aratati ca triunghiul cu a=2bc cos(C) e isoscel;

3. aratati ca triunghiul ABC e dreptunghic in A daca si numai daca
cos(B)+cos(C)=(b+c)/a.

Apreciez orice indiciu!

Multumesc!

Similare

11 raspunsuri

  1. Green eyes
    maestru (V)

    Salut,

    La problema 1, teorema sinusului într-un triunghi:

    \bl\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}, unde a, b şi c sunt lungimile laturilor BC, AC, respectiv AB, iar A, B şi C sunt unghiurile triunghiului.

    Ridicăm la pătrat:

    \bl\frac{a^{\small 2}}{sin^{\small 2}A}=\frac{b^{\small 2}}{sin^{\small 2}B}=\frac{c^{\small 2}}{sin^{\small 2}C}

    Aplicăm una dintre proprietăţile proporţiilor pentru ultimele 2 fracţii:

    \bl\frac{a^{\small 2}}{sin^{\small 2}A}=\frac{b^{\small 2}}{sin^{\small 2}B}=\frac{c^{\small 2}}{sin^{\small 2}C}=\frac{b^{\small 2}+c^{\small 2}}{sin^{\small 2}B+sin^{\small 2}C}, deci: \bl\frac{a^{\small 2}}{sin^{\small 2}A}=\frac{b^{\small 2}+c^{\small 2}}{sin^{\small 2}B+sin^{\small 2}C}=\frac{b^{\small 2}+c^{\small 2}}{sin^{\small 2}A}\Rightarrow a^{\small 2}=b^{\small 2}+c^{\small 2},\;deci\;triunghiul\;ABC\;este\;dreptunghic.

    Green eyes.

  2. vlad29marko

    La ultimul rand, inainte sa-ti rezulte „pitagora”, imi poti explica te rog de ce primele doua fractii sunt egale cu (b^2+c^2)/sin^2(A) ? E cumva alta proprietatea de la proportiile derivate pe care nu o vad?

    PS. La problema 2 m-am gandit sa presupun ca (triunghiul trebuind sa fie isoscel in final) are din start 2 laturi egale si sa egalez doua variabile. Nu ajung prea departe nici asa, insa. 😀

    PPS. Cum fac sa scriu si eu matematic, ca lumea?

  4. DD
    profesor

    Problema a doua este incorecta din p.de v. dimensional. Poate este a^2=2bc.cosC?
    3)Se da ; cosB+cosC=(b+c)/a.(corespunde dimensional). Deci ;
    2(cos(B+C)/2)(.cos(B-C)/2)=(sinB+sinC)/sinA=2(sin(B+C)/2).(cos(B-C)/2)/
    (2(sinA/2)(cosA/2)), sau; sinA/2=(cosA/2) /2.(sinA/2).(c0sA/2) , sau ;
    2(sinA/2)^2=1 ,sau; 1-cosA=1->cosA=0-><A=90gr

  5. DD
    profesor

    Raspuns la prima intrebare
    Adunarea rapoartelor asa cum s-a facut este corecta conf. proprietatilor rapoartelor iar ( sinB)^2+(sinC)^2=(sinA)^2 s-a dat prin problema

  6. vlad29marko

    DD wrote: Problema a doua este incorecta din p.de v. dimensional. Poate este a^2=2bc.cosC?
    3)Se da ; cosB+cosC=(b+c)/a.(corespunde dimensional). Deci ;
    2(cos(B+C)/2)(.cos(B-C)/2)=(sinB+sinC)/sinA=2(sin(B+C)/2).(cos(B-C)/2)/
    (2(sinA/2)(cosA/2)), sau; sinA/2=(cosA/2) /2.(sinA/2).(c0sA/2) , sau ;
    2(sinA/2)^2=1 ,sau; 1-cosA=1->cosA=0-><A=90gr

    La 2 am reverificat cerinta, am copiat-o bine. Cum ii explic eu profului ca e incorecta? Cum ti-ai dat seama?

    Le-am inteles pe celelalte, multumesc!

    Pe langa astea, imi puteti spune, va rog, cum introduc caracterele matematice pe forumul asta? 😀 Am mai intrebat de cateva ori si la fel a ramas.. E greu de urmarit si chiar de scris o cerinta in conditiile absentei functiei mai sus amintite.

  8. DD
    profesor

    Orice egalitate sau inegalitate geometrica, in afara de adevarul matematic trebue ca indeplineasca si conditia de ”masura”.In cazul exercitiului 2) se
    egaleaza o dinensiune lineara masurata in metri cu o suprafata masurata in metri patrati . CUM SA POTI ABORDA O ASTFEL DE EGALITATE ?
    a=2b.c.cosC->Membrul intai este o lungime si membrul doi este o suprafata .Numarul 2 si cos C ,sunt marimi fara dimensiuni. Clar?
    Asta trebue sa fie si motivatia ce o vei face profesorului.

  9. vlad29marko

    DD wrote: Orice egalitate sau inegalitate geometrica, in afara de adevarul matematic trebue ca indeplineasca si conditia de ”masura”.In cazul exercitiului 2) se
    egaleaza o dinensiune lineara masurata in metri cu o suprafata masurata in metri patrati . CUM SA POTI ABORDA O ASTFEL DE EGALITATE ?
    a=2b.c.cosC->Membrul intai este o lungime si membrul doi este o suprafata .Numarul 2 si cos C ,sunt marimi fara dimensiuni. Clar?
    Asta trebue sa fie si motivatia ce o vei face profesorului.


    Ai avut dreptate.
    S-a facut modificarea: a=2b cos(C)
    Acum ar veni lungime=lungime si nu cu suprafata (doua laturi inmultite) cum era initial. Ar trebui sa „mearga” acum.

  10. DD
    profesor

    Deci ; a=2bcosC->cosC=(a/2)/b sau 2RsinA=2R.2simB.c0sC , sau ; sinA=sin(180-(B+C))=sin(B+C)=2sinBcosC=sib((B+C)+sin(B-C) sau;
    0=sin(B-C)-><B=<C deci triunghiul este isoscel

  12. aurel5
    maestru (V)

    vlad29marko wrote: Cum fac sa scriu si eu matematic

    I) Cauti, pe Google, „Tex” si „Latex” (in limba romana).

    Acestea sunt limbaje care permit scrierea simbolurilor matematice (si nu numai !). Utilizarea devine simpla dupa cateva incercari.

    II) Folosesti butonul „citeaza”, din partea dreapta a unei pagini de pe acest forum, care contine text matematic.

    Vei vedea cum a fost redactat, ce combinatii de taste si alfanumerice s-au folosit.

  13. aurel5
    maestru (V)

    vlad29marko wrote:

    1. aratati ca triunghiul cu sin^2(B)+sin^2(C)=sin^2(A) e dreptunghic;

    2. aratati ca triunghiul cu a=2bc cos(C) e isoscel;


    Transpun problemele in cadru mai timpuriu, catre clasa a VII-a.

    Utilizez formulele pentru arie cu ajutorul sinusului si teorema cosinusului (varianta a teoremei lui Pitagora generalizata ! )

    Voi folosi butonul TeX pentru a scrie simboluri matematice.

    Foloseste butonul „citeaza”, din dreapta paginii, pentru a vizualiza redactarea.

    \it{\bl 1) S = \frac{ac sin B}{2} = \frac{ab sin C}{2} = \frac{bc sin A}{2} \Longrightarrow \{sin B = \frac{2S}{ac}\\\;\\sin C = \frac{2S}{ab} (*)\\\;\\sin A = \frac{2S}{bc}}

    \it{sin ^2 B + sin ^2 C = sin ^2 A \stackrel{(*)}{\Longleftrightarrow} \frac{4S^2}{a^2c^2} + \frac{4S^2}{a^2b^2} = \frac{4S^2}{b^2c^2}|_{ :4S^2} \Longleftrightarrow \frac{1}{a^2c^2} + \frac{1}{a^2b^2} = \frac{1}{b^2c^2} \Longleftrightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Longleftrightarrow \frac{b^2 + c^2}{a^2b^2c^2} = \frac{1}{b^2c^2}|_{ \cdot b^2c^2} \Longleftrightarrow \frac{b^2 + c^2}{a^2} = 1 \Longleftrightarrow b^2 + c^2 = a^2 (**) \\\;\\ \\\;\\Aplicand reciproca teoremei lui Pitagora, pentru relatia (**), se obtine triunghiul ABC - dreptunghic, cu m(\hat{A}) = 90^0 .}

    \it{\bl 2) a = 2b cos\ C (1)\\\;\\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} (2)\\\;\\ \\\;\\(1), (2) \Longrightarrow a = 2b\cdot \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \Longrightarrow a = \frac{a^2+b^2-c^2}{a} \Longrightarrow a^2 = a^2+b^2-c^2 \Longrightarrow 0 = b^2 - c^2 \Longrightarrow 0 = (b-c)(b+c) \Longrightarrow b - c = 0 \Longrightarrow b = c\\\;\\ \\\;\\Deci, \Delta ABC este isoscel, cu AB = AC }

  14. vlad29marko

    Multumesc mult tuturor pentru precizari!

Raspunde

Raspunde