Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
1)Sa se dea un exemplu de structura de grup in care exista 2 elemente de ordin finit al caror produs nu are ordin finit.(varianta 28(sub 3)/bac 2007-problema referitoare la matrici-in caz ca ajuta cu ceva)
2)Sa se arate ca orice submultime H a lui S4(multimea permutarilor de ordin 4) care are cel putin 13 elemente contine doua permutari u si v cu proprietatea u*v diferit de v*u.(var 81/bac 2007 sub 3)
Deobicei, subpunctele mai uşoare ale unei probleme, pe care tu le ţii secrete, nu vrei sa ni le spui, te ajută să rezolvi subpunctul mai dificil. Aşa că, succes!
Cu bine, ghioknt.
Salut,
Problema 1:
Enunţul complet se află la adresa de mai jos, vezi punctul g al subiectului III, pagina 2:
Iar soluţia se află la adresa de mai jos, tot punctul g, pagina 2:
Green eyes.
Salut,
Problema 2:
Enunţul complet se află la adresa de mai jos, vezi punctul g al subiectului III, pagina 2, varianta 81:
Iar soluţia se află la adresa de mai jos, tot punctul g, pagina 1, varianta 81:
Green eyes.
Îţi trimit şi eu o soluţie la problema 2. Spune-mi te rog, care soluţie ţi se pare mai inteligibilă, cea oficială, sau a mea?
. (1)
.
. (2)
Să presupunem, prin absurd, că toate elementele lui H comută între ele.
Fie u,v din H, deci ux=xu si vx=xv pentru orice x din H. (uv)x=u(vx)=u(xv)=(ux)v=(xu)v=x(uv).
Am demonstrat că
Am demonstrat că
Din (1) şi (2) deducem că H este subgrup al lui S4. Din subpunctele anterioare ai aflat că S4 are 24 de elemente şi că există şi elemente
care nu comută. Conchidem că H este subgrup propriu al lui S4 şi cum ordinul lui H divide ordinul lui S4 deducem că H are cel mult 12
elemente. Deci ipoteza că toate elementele lui H comută între ele este falsă.
Cu bine, ghioknt.
Nu chiar. Ati folosit implicit ca H e stabila, ceea ce nu e in ipoteza.
În felul ăsta (am în vedere şi ce urmează după citatul de mai sus) ar rezulta că orice submulţime ale cărei elemente comută este subgrup.
P.S. Întâmplător am ajuns aici, de pe alt site, şi mi-a plăcut întrebarea de la început🙂
@ gigelmarga🙂
Te rog sa dai o nota, pe scala 1 – 10, rezolvarii de mai sus, ca sa vad daca fac, sau nu, contestatie.
Concluzia (H e subgrup al lui S4) e greşită, deci ce notă pot da?
Dacă în loc de H iei <H>, soluţia ar merge. Nu ar fi de 10, pentru că e folosită teorema lui Lagrange fără demonstraţie.
Categoric nu e de 10. Notarea unei lucrari perfecte este relativ simpla, doar sa observi ca e perfecta. Problemele apar atunci cand
tu, corector, ai in fata o demonstratie ca a mea. Intotdeauna eu am procedat asa, mai ales in fata unui text demonstrativ inedit.
Am ”prelungit” textul respectiv, in masura in care m-am priceput, la o demonstratie cat mai completa si, in functie de ideile
lipsa, am scazut din punctajul maxim cat mai putin, apreciind astfel potentialul elevului respectiv si evitand un eventual castig
la contestatie.
Apropo de teorema lui Lagrange. Exista o lista de teoreme, formule etc care nu pot fi folosite fara demonstratie? Cei care stiu
mai multe decat prevede o programa din ce in ce mai saracita risca sa fie urmariti si pedepsiti exemplar?
Iti multumesc pentru interventie, in numele meu si al cititorilor avizati, care nu au decat de castigat de pe urma ”polemicii” noastre
cordiale.
Cu stima,
ghioknt
Nu, desigur. Dar, pe de altă parte, olimpiadele de matematică nu au drept obiectiv să-i aleagă pe cei mai „culţi” competitori. De altfel (am văzut asta de multe ori) e posibil ca un concurent care ştie foarte multe rezultate (teoreme, tehnici, etc.) să fie uneori în dezavantaj: nu mai are prospeţimea aceea, nu-i mai vin idei-pentru că nu le mai caută, încercând să reducă totul la chestii citite- nu mai e competitiv. Şi nici nu mai are farmec concursul.
De aceea, ar fi instructiv de urmărit argumentele (şi contraargumentele) folosite în juriul OIM, atunci când se selectează problemele.
Revenind la chestiune şi păstrând proporţiile, dacă aş corecta la acest subiect de bac şi un elev ar da soluţia corectă folosind Lagrange, i-aş da instantaneu punctajul maxim (forţând baremul, la o adică). Dar dacă eu aş fi în concurs, aş căuta o soluţie fără Lagrange (ştiind că ea există, că altfel nu s-ar da problema:) )
A, am uitat exemplul; ca să se înţeleagă ce am vrut să spun…
Dacă G={1,i,-1,-i} a grupul unităţilor de ordinul 4, iar H={1,-1,i}, atunci oricare două elemente din H comută, dar H nu e subgrup al lui G.
Cititorii interesaţi au rămas fără nicio soluţie, şi asta din vina mea. Dacă nu veneam eu cu soluţia subtil greşită, poate altcineva
posta una corectă. Supun, aşadar, criticii comunităţii următoarea cârpeală.
Am scris că:
Să presupunem, prin absurd, că toate elementele lui H comută între ele.
Fie u,v din H, deci ux=xu si vx=xv pentru orice x din H. (uv)x=u(vx)=u(xv)=(ux)v=(xu)v=x(uv). Concluzia corectă este:
dacă u şi v (din H) comută cu orice element din H, atunci şi produsul uv are aceeaşi proprietate.
a) Dacă toate produsele uv, cu u şi v din H, aparţin lui H, atunci H este parte stabilă a lui S4.
b) Dacă unele produse uv nu sunt în H, le adăugăm la H şi obţinem o ”supramulţime ” a lui H care conservă proprietatea
”toate elementele mulţimii comută între ele”. Dacă este nevoie repetăm procedeul. După un număr finit de paşi nu vom
mai avea ce adăuga. Înseamnă că avem o muţime H1 care, în plus faţă de H, este şi parte stabilă a lui S4.
In ambele variante putem conta pe o submulţime – parte stabilă a lui S4, pe care în continuare o voi numi tot H. Aceasta nu poate
fi S4 pentru că S4 are şi elemente care nu comută între ele, pe când în H (originalul sau extinderea) toate comută între ele.
Dacă H are m elemente, atunci 13<=m<24.
Inseamnă că H este subgrup propriu a lui S4, pentru că dacă o submulţime finită a unui grup este parte stabilă,
atunci submulţimea respectivă este subgrup.
Teorema lui Lagrange (ordinul subgrupului divide ordinul grupului) ne spune că m divide 24, contradicţie.
Dacă, pentru a lua punctajul maxim, nu trebuie pomenit Lagrange, putem folosi alte tertipuri, cum ar fi:
Dacă o submulţime H a unui grup G are m elemente, atunci aH are tot m elemente, oricare ar fi a din G. (banal)
Dacă H este subgrup al lui G şi a este din G\H, atunci H şi aH sunt disjuncte (tot banal).
Luăm a din S4\H şi obţinem că H U aH are 2m elemente. Dar 2m>=26, contradicţie, căci S4 are doar 24 elemente.
Solutiile de pe pro-didactica.ro