Home/ Intrebari/Q 83942
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

xor_NTG
maestru (V)
Pe: 2013-11-06T17:12:38+02:00 In: In:

Sir de integrale

Am urmatorul sir:

    \[ I_n = \int\limits_n^{n + 1} {\frac{{x^n }}{{x^2 + x + 1}}dx} \]

Imi cere sa calculez:

    \[ I_1 + I_2 + I_3 \]

Eu am inlocuit…

    \[ I_1 + I_2 + I_3 = \int\limits_1^2 {\frac{x}{{x^2 + x + 1}}dx + \int\limits_2^3 {\frac{{x^2 }}{{x^2 + x + 1}}dx} + \int\limits_3^4 {\frac{{x^3 }}{{x^2 + x + 1}}dx} } \]

Problema e cum calculez aceste 3 integrale. Nu pot sa aplic aditivitatea la interval, pentru ca am functii diferite sub integrale.

Ultimele doua integrale sunt calculabile prin aplicarea teoremei impartirii cu rest la polinoame dar ce fac la prima?

Am incercat sa fac un artificu astfel incat sa ajung cumva la un logaritm dar nu merge. Nici o descompunere la numitor nu am gasit.

Multumesc.

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Dacă la ultimile 2 integrale aplici teorema împăţtirii cu rest, o faci pentru a le reduce la integrale ca prima. Descompunerea numitorului
    în factori ai reuşit-o deja: nu se poate, pentru că delta <0 (numitor de gradul doi, ireductibil peste R, aşa se zice).
    O funcţie raţională elementară de tipul (grad 1)/(grad 2 ired.), cum este şi prima ta funcţie, poate avea ca primitivă
    ln(numitor), dacă număr. =derivata numit., sau logaritmul+arctg, în caz contrar (primitiva arctg se obtine prin scrierea numitorului
    ca sumă de pătrate).

        \[ \begin{array}{l} \int\limits_1^2 {\frac{x}{{x^2 + x + 1}}} dx = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{2x + 1 - 1}}{{x^2 + x + 1}}} dx = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{2x + 1}}{{x^2 + x + 1}}} dx - \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{1}{{x^2 + x + 1}}} dx = \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{{\left( {x^2 + x + 1} \right)}}{{x^2 + x + 1}}^\prime dx - \frac{1}{2}\int\limits_1^2 {\frac{1}{{\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2 }}} } dx = \\ = \frac{1}{2}\ln \left( {x^2 + x + 1} \right)|_1^2 - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{{\sqrt 3 }}arctg\left. {\frac{{x + \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}} \right|_1^2 = \frac{1}{2}\left( {\ln 7 - \ln 3} \right) - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {arctg\frac{5}{{\sqrt 3 }} - arctg\sqrt 3 } \right) = \\ = \frac{1}{2}\ln \frac{7}{3} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {arctg\frac{5}{{\sqrt 3 }} - \frac{\pi }{3}} \right) \\ \end{array} \]

    Este suficient atât?
    Cu bine, ghioknt.

    • 0
  2. xor_NTG
    maestru (V)

    Am inteles! Multumesc cu respect, domnule ghioknt!

    • 0
Raspunde

Raspunde