Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Am primit azi la un test urmatorul exercitiu:
Se considera:
![\[ \begin{array}{l} x^\circ y = xy - 3x - 3y + 12 \\ M = \left( {3,\infty } \right) \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c51b481f6582c3882c58db87d8b4a081_l3.png "formula matematica")
Aratati ca:
![\[ \left( {M,^\circ } \right) izomorf cu \left( {R, \cdot } \right) \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-dc7c238c5cdfcef9e34a65fa544f78d5_l3.png "formula matematica")
Deci practic imi cere sa arat ca acele doua grupuri sunt izomorfe dar nu imi da functia (morfismul) prin care eu sa arat acest lucru.
Cum pot gasi functia? Ce considerente trebuie sa iau in calcul in vederea gasirii ei? Daca am o lege mult mai complicata, cum imi dau seama de functie?
Multumesc.
Fie functia bijectiva f :R->R unde f(x)=ax+b.Ca intre (M,o) si (R,.) sa existe un izomorfism prin f(x). ,trebue sa avem egalitatea f(xoy)=f(x).f(y) sau ;
a(xoy)+b=(ax+b).(ay+b) sau ; a(xy-3x-3y+12)+b=(ax+b)(ay+b) sau ;
axy-3ax-3ay+12a+b=(a^2)xy+abx+aby+b^2, de unde ; a=a^2 , -3a=ab , 12a+b=b^2. Din relatia a doua avem b=-3. Din a treia relatie ->a=1 si verifica si prima relatie. Deci relatia de izomorfism se poate face prin f(x)=x-3 care este o functie bijectiva .
Am inteles rezolvarea, dar nu am inteles ideea. De unde stiu eu ca functia trebuie sa fie de gradul I?
Daca, spre exemplu am urmatoarea lege de compozitie:
Cum aflu eu izomorfismul? Ce trebuie sa am in vedere?
Multumesc.
Se pleaca de la o functie care precis este bijectiva si intotdeauna f :R->R unde f(x) =ax+b este bijectiva Izomorfismul se realizeaza numai pe functii bijective. Succes
Pentru că vrei să înţelegi ce înveţi, o să fac câteva observaţii.
1) Grupul dat nu poate fi izomorf cu (R,.) ci cu
.
2) Nu se studiază noţiunea lege de compoziţie, ci noţiunea de lege de compoziţie definită pe mulţimea nevidă M.
Cu alte cuvinte întâi se dă mulţimea M şi apoi un procedeu prin care la orice pereche de elemente din M se asociază un singur element,
obligatoriu din M. Am subliniat cele 3 condiţii necesare pentru a putea vorbi despre o lege de compoziţie pe mulţimea M.
Ori, în a doua ta postare, nu ai precizat pe ce mulţime vrei să defineşti legea respectivă, iar formula ta băşcălie(x, y) are ca domeniu
de definiţie, fix mulţimea vidă.
3) În zeci de exerciţii întâlneşti legi definite pe o mulţime M de numere reale prin
. Taina este că
întotdeauna c=b^2-b (12=(-3)^2-(-3), nu-i asa?), iar egalitatea dată se poate scrie
.
Se vede că f(x)=x+b este un morfism (bijectiv chiar) între M=(-b; oo) cu ”o” şi (0; oo) cu înmulţirea?
Dacă ai x o y=axy+bx+by+c, taina este c=(b^2-b)/a; poţi scrie x o y=(1/a)(ax+b)(ay+b)-b/a, şi apoi
a(x o y)+b=(ax+b)(ay+b), deci f(t)=at+b este izomorfism între (-b/a; oo) şi (0; oo) sau între R\{-b/a} şi R*.
Mai general, dacă (G, *) este un grup cunoscut şi vrem să definim pe mulţimea M o structură de grup (izomorfă cu a lui G)
luăm o funcţie f:M–>G bijectivă, definim legea ”o” prin f(x o y)=f(x)*f(y) (se asigură şi morfimul), deci x o y=g(f(x)*f(y)),
unde g este inversa lui f. Elementul neutru pentru ”o” va fi u=g(e), simetricul lui x din M va fi x’=g((f(x))’).
Multă practică!
Cu bine, ghioknt.
Într-adevăr, asta e o explicatie foarte bună! Acum lucrurile s-au clarificat!
Acea „lege” din a doua postare, a avut ca scop doar exemplificarea unei situatii în care este practic imposibilă (sau extrem de grea) găsirea functiei care sa respecte proprietătile unui izomorfism, deci da, poate fi considerată băscălie😀 …
Multumesc mult pentru explicatie!