Home/ Intrebari/Q 83636
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

iullyan
Pe: 2013-10-26T07:14:24+03:00 In: In:

inductia matematica

Va rog sa ma ajutati cu acest exercitiu la care am pus si „rezolvarea” mea.
1/(n+1)+1/(n+2)+….+1/(3n+1)>1 , oricare n≥1
I. Verificare
P(1): 1/2+1/3+1/4>1(A)

II. Demonstratie
presupunem ca P(n)(A) si dem ca P(n+1)(A)
P(n): 1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(3n+1)>1
–––––––––––––––––––/–––––––––
P(n+1): 1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(3n+4)>1
–––––––––––––––––––//––––––––-
P(n+1):1/(n+2)+1/(n+3)+…+1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)>1
––––––––––––––––––-//–––––––––-

1/(n+1)+1/(n+2)+…+1/(3n+1)>1/adun{+1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)-
1/(n+1)}<=>
{se simplifica 1/(n+1)} si se obtine 1/(n+2)+…+1/(3n+1)+1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)>1+1/(3n+2)+
+1/(3n+3)+1/(3n+4)-1/(n+1)?>1
Ramane sa aratam ca:
1+1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)-1/(n+1)>1
Se simplifica 1 cu 1 si se obtine:
1/(3n+2)+1/(3n+3)+1/(3n+4)-1/(n+1)>0
Si de aici nu mai stiu cum sa continui pentru a demonstra ca P(n+1)(A)

Similare

1 raspuns

  1. Green eyes
    maestru (V)

    Salut,

    Ai început foarte bine, eşti foarte aproape de final, trebuie doar să continui:

    \bl\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3\cdot(n+1)}+\frac{1}{3n+4}-\frac{1}{n+1}>0,\;sau\;\frac{1}{3n+2}-\frac{2}{3\cdot(n+1)}+\frac{1}{3n+4}>0,\;sau\;\frac{3\cdot(n+1)\cdot(3n+4)-2\cdot(3n+2)\cdot(3n+4)+3\cdot(3n+2)\cdot(n+1)}{3\cdot(3n+2)\cdot(n+1)\cdot(3n+4)}>0\\ \\ \frac{9n^{\small 2}+21n+12-18n^{\small 2}-36n-16+9n^{\small 2}+15n+6}{3\cdot(3n+2)\cdot(n+1)\cdot(3n+4)}>0,\;sau\;\frac{2}{3\cdot(3n+2)\cdot(n+1)\cdot(3n+4)}>0

    Având în vedere că pentru orice n≥1 numitorul fracţiei de la final este pozitiv, înseamnă că întreaga fracţie este pozitivă, deci P(n+1) este adevărată.

    Conform principiului inducţiei matematice complete, admitem că P(n) este adevărată pentru orice n≥1, ceea ce încheie demonstraţia.

    Green eyes.

Raspunde

Raspunde