Home/ Intrebari/Q 83520
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Annaaa
user (0)
Pe: 2013-10-21T15:28:21+03:00 In: In:

Integrarea prin parti

Integrala din ln(1+x^2+x^4)dx=?

Similare

1 raspuns

  1. xor_NTG
    maestru (V)

        \[ \begin{array}{l} \int {\ln \left( {1 + x^2 + x^4 } \right)dx} = x\ln \left( {1 + x^2 + x^4 } \right) - \int {\frac{{2x^2 + 4x^4 }}{{1 + x^2 + x^4 }}} dx \\ u\left( x \right) = \ln \left( {1 + x^2 + x^4 } \right) \Rightarrow u'\left( x \right) = \frac{{2x + 4x^3 }}{{1 + x^2 + x^4 }} \\ v'\left( x \right) = 1 \Rightarrow v\left( x \right) = x \\ \int {\frac{{2x^2 + 4x^4 }}{{1 + x^2 + x^4 }}} dx = \int {\left[ {4\left( {x^4 + x^2 + 1} \right) - 2x^2 - 4} \right]dx = 4\int {\left( {x^4 + x^2 + 1} \right)dx - 2\int {\left( {x^2 - 2} \right)dx} = } } \\ = 4\left( {\frac{{x^5 }}{5} + \frac{{x^3 }}{3} + x} \right) - 2\left( {\frac{{x^3 }}{3} - 2x} \right) = \frac{4}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + 8x \\ \int {\ln \left( {1 + x^2 + x^4 } \right)dx} = x\ln \left( {1 + x^2 + x^4 } \right) + \frac{4}{5}x^5 + \frac{2}{3}x^3 + 8x + C \\ \end{array} \]

    Prima parte a rezolvarii consta in aplicarea formulei de integrare prin parti. Obtinem apoi in membrul drept o integrala dintr-un raport de functii polinomiale. Aceasta integrala am calculat-o utilizand o metoda care se va invata un pic mai tarziu la algebra (impartirea cu rest a polinoamelor).

    Practic am scris

        \[ {\frac{{2x^2 + 4x^4 }}{{1 + x^2 + x^4 }}} \]

    ca fiind egal cu

        \[ {4\left( {x^4 + x^2 + 1} \right) - 2x^2 - 4} \]

    dupa care am aplicat liniaritatea integralei.

    Acest lucru se poate afla aplicand formula de impartire cu rest a polinoamelor (cu conditia ca gradul deimpartitului sa fie mai mare sau egal decat gradul impartitorului).

    • 0
Raspunde

Raspunde