Home/ Intrebari/Q 83498
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Andreea09
Pe: 2013-10-20T11:35:08+03:00 In: In:

2 probleme

Nu reusesc sa rezolv aceste 2 probleme dintr`un test.

Sa se arate ca f: R -> R,

    \[f(x) = \{ {{{(1 - x)}^2} \bullet {e^{ - x}},x \in ( - \infty ,1]}\\ {\frac{{{{\ln }^2}x}}{x},x \in (1, + \infty )} \end{array}\]

admite primitive pe R si sa se determine primitiva F care verifica relatia F(e) + F(0)=(-2(e+3))/3e .

2. Sa se determine integralele nedefinite:

a) integrala din (x+2)/radical din (x^2+1) dx,x apartine R.
b) iintregrala din (x+2)* e^x dx, x apartine R.

Multumesc mult celor dispusi sa ma ajute!

Similare

2 raspunsuri

  1. DD
    profesor

    Nu va pot raspunde la problema pusa pentru ca nu am spatiu de editare

  2. ghioknt
    profesor

    O condiţie suficientă pentru ca o funcţie să aibă primitive pe un interval ( în speţa, R) este ca ea să fie continuă pe R.
    Restricţiile lui f la intervalele deschise (-oo; 1), (1; oo) sunt continue, căci acestea se obţin printr-un număr finit de operaţii
    cu funcţii elementare.
    Continuitatea in 1:

        \[ {\lim }\limits_{x \uparrow 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \left( {1 - 1} \right)^2 e^{ - 1} = 0;\,\,\, {\lim }\limits_{x \downarrow 1} f\left( x \right) = \frac{{\ln ^2 1}}{1} = 0 \]

    este confirmată, deci f este continuă pe R, deci are primitive pe R.
    Calculez o primitivă pe (-oo; 1] prin părţi:

        \[ \begin{array}{l} \int {\left( {1 - x} \right)^2 } e^{ - x} dx = - \left( {1 - x} \right)^2 e^{ - x} - \int 2 \left( {1 - x} \right)e^{ - x} dx = - \left( {1 - x} \right)^2 e^{ - x} + 2\left( {1 - x} \right)e^{ - x} + 2\int {e^{ - x} dx} = \\ u\left( x \right) = \left( {1 - x} \right)^2 \Rightarrow u'\left( x \right) = - 2\left( {1 - x} \right)\quad \quad \quad u\left( x \right) = 2\left( {1 - x} \right) \Rightarrow u'\left( x \right) = - 2 \\ v'\left( x \right) = e^{ - x} \quad \quad \Rightarrow v\left( x \right) = e^{ - x} \quad \quad \quad \quad \quad \quad v'\left( x \right) = e^{ - x} \quad \quad \Rightarrow v\left( x \right) = e^{ - x} \\ = - \left( {1 - x} \right)^2 e^{ - x} + 2\left( {1 - x} \right)e^{ - x} - 2e^{ - x} + c_1 = - \left( {x^2 + 1} \right)e^{ - x} + c_1 . \\ \end{array} \]

    Calculez o primitivă pe intervalul (1; oo) cu schimbarea de variabilă t=lnx, deci dt=(1/x)dx:

        \[ \int {\ln ^2 x \cdot \frac{1}{x}dx\,\,\,devine\,\,\,\int {t^2 dt = \frac{{t^3 }}{3} + c_2 ,\,\,\,\,deci\,\,\,\,\int {\ln ^2 x \cdot \frac{1}{x}dx = \frac{{\ln ^3 x}}{3} + c_2 .} } } \]

    Iau c_1=0 si determin c_2 astfel încât funcţia

        \[ F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array} { - \left( {x^2 + 1} \right)e^{ - x} \,\,x \in \left( { - \infty ;\,1} \right]} \\ {\frac{{\ln ^3 x}}{3} + c_2 \,\,\,\,\,\,x \in \left( {1;\,\infty } \right)} \\ \end{array}} \right. \]

    să fie, mai întâi, continuă în 1: F(1-0)=F(1)=-2/e; F(1+0)=c_2; deducem c_2=-2/e.
    Studiem derivabilitatea funcţiei F,astfel determinate:
    a) F este derivabilă în orice x diferit de 1, iar F'(x)=f(x);
    b) F este continuă îin 1;
    c) F'(1-0)=f(1-0)=f(1) si F'(1+0)=f(1+0)=f(1) (pentru că f este continuă în 1).
    Conform C.T.L. f este derivabilă în 1 şi F'(1)=f(1). Aşadar orice primitivă a lui f este de forma

        \[ F\left( x \right) = \left\{ {\begin{array} { - \left( {x^2 + 1} \right)e^{ - x} + c\,\,x \in \left( { - \infty ;\,1} \right]} \\ {\frac{{\ln ^3 x}}{3} - \frac{2}{e} + c\,\,\,\,\,\,x \in \left( {1;\,\infty } \right)} \\ \end{array}} \right. \]

    Acum, F(0)+F(e)=-1+c+1/3-2/e+c=2c-2(e+3)/(3e); deducem c=0 din condiţia dată.
    Comentariu. Metoda aceasta, de construire a unei primitive prin determinarea unor constante, urmată de aplicarea
    C.T.L.pentru demonstrarea derivabilităţii este foarte stresantă pentru elevii care acum încep să înveţe calcul integral
    (cumplit meşteşug de tâmpenie, cum zicea un clasic). Eu aş interzice-o, pentru că, puţin mai târziu, veţi învăţa teorema
    fundamentală a calculului integral, conform careia o primitivă a acestei functii este

        \[ F\left( x \right) = \int\limits_1^x {f\left( t \right)dt} \]

    ;
    adio determinarea constantelor, aplicarea C.T.L. etc.
    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde