Fie H ortocentrul triunghiului ABC. Pe inaltimile din A, B, C se considera vectorii HD, HE, HF de sensuri opuse vectorilor HA, HB, HC si cu modulele BC, AC, respectiv AB. Sa se arate ca suma vectoriala: HD+HE+HF=0.
(ps: toate problemele cu vectori au fost selectate din manualul de clasa aIX-a) Multumesc!
dennis9091guru (IV)
Concluzia problemei este adevarată numai dacă triunghiul este ascuţitunghic, ceeace tu ai uitat să precizezi. Pentru un triunghi
obtuzunghic problema poate fi reparată astfel: dacă A este obtuz, atunci punctul D trebuie luat pe semidreapta (HA, nu pe
semidreapta opusă. Dacă A este obtuz, calculul prezentat de red_dog dă 4a^2, nu 0.
Iată şi o demonstraţie pentru mai târziu, când vei şti mai multe, de exemplu:
BC=2RsinA,şi omoloagele;
HA=2RcosA, şi omoloagele;
un punct H este ortocentrul unui triunghi nedreptunghic ABC dacă şi numai dacă (tgA)HA+(tgB)HB+(tgC)HC=0.
Dem: HD=BC*(1/HA)*(-HA)=-(2RsinA)/(2RcosA)*HA= -(tgA)HA; apoi HE=-(tgB)HB, HF=-(tgC)HC.
HD+HE+HF=-[(tgA)HA+(tgB)HB+(tgC)HC]=0.
Notă: cu caractere boldite am scris vectorii.
Cu bine, ghioknt.
P.S. Unde am folosit faptul că triunghiul este ascuţitunghic? (pentru nota 10)
Multumesc!