Home/ Intrebari/Q 83185
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

Felicia_b
user (0)
Pe: 2013-10-06T09:56:37+03:00 In: In:

primitive c

1. Sa se determine functiile f:D->R ,care au primitivele de forma :

    \[\begin{array}{l} a)\;F(x) = \frac{{\left[ {\sin (\ln x) + \cos (\ln x)} \right] \cdot x}}{2}\quad ,x > 0;\\ b)\;F(x) = \arcsin \left( {2x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) - 2\arcsin x\;\;,x \in \left( { - 1,1} \right). \end{array}\]

2. Fie functiile

    \[f,g]\]

. Exista valori ale lui a,b,c reale astfel incat functia g sa fie o antiderivata a functiei h:(0,infinit)->R ,h(x)=f(x)/(x^2)?

Similare

2 raspunsuri

  1. DD
    profesor

    Attached files

  2. ghioknt
    profesor

    b). Trebuie să determini funcţiile f:D -> R care admit ca primitive funcţia de la b). Dacă prin D se inţelege intervalul (-1; 1),
    atunci răspunsul este: nu există asemenea f pentru că F nu este derivabilă pe întreg intervalul. După cum ai învăţat în clasa a XI-a
    există câteva funcţii (puţine, ce-i drept) care nu sunt derivabile pe domeniul maxim de definiţie: arcsin şi arccos nu sunt derivabile
    în -1 si 1, funcţiile radical şi modul nu sunt derivabile în 0. Pentru funcţia F trebuie să vedem dacă este posibil ca

        \[ \begin{array}{l} 2x\sqrt {1 - x^2 } = 1 \Leftrightarrow x > 0\,\, \wedge \,\,4x^2 \left( {1 - x^2 } \right) = 1 \Leftrightarrow x > 0\,\, \wedge \left( {1 - 2x^2 } \right)^2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,sau \\ 2x\sqrt {1 - x^2 } = - 1 \Leftrightarrow x < 0\,\, \wedge \,\,4x^2 \left( {1 - x^2 } \right) = 1 \Leftrightarrow x < 0\,\, \wedge \left( {1 - 2x^2 } \right)^2 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \\ \end{array} \]

    .
    Concluzia: F este cu siguranţă derivabilă pe

        \[ \left( { - 1;\,\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};\,\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;\,1} \right) \]

    . Pentru x în care F este derivabilă avem

    *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[
	\begin{array}{l}
	 F'\left( x \right) = \left( {\arcsin 2x\sqrt {1 - x^2 }  - 2\arcsin x} \right)^\prime   = \frac{2}{{\sqrt {\left( {1 - 2x^2 } \right)^2 } }} \cdot \frac{{1 - 2x^2 }}{{\sqrt {1 - x^2 } }} - \frac{2}{{\sqrt {1 - x^2 } }} = \frac{2}{{\left| {1 - 2x^2 } \right|}} \cdot \frac{{1 - 2x^2 }}{{\sqrt {1 - x^2 } }} - \frac{2}{{\sqrt {1 - x^2 } }} \\
	 Pentru\,\,\,x \in \left( { - 1;\,\, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\,;\,1} \right)\,\,]
	

*** Error message:
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

    .
    Pentru că F este continuă în cele două puncte +,-(rad2)/2, calculăm derivatele laterale astfel:

        \[ F'_s \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = {\lim }\limits_{x \uparrow - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} F'\left( x \right) = ;\,\,F'_d \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = {\lim }\limits_{x \downarrow - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} F'\left( x \right) = 0\,;\,F'_s \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 0\,;\,\,F'_d \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = - 4\sqrt 2 \,, \]

    ceeace confirmă că F nu este derivabilă în cele două puncte. Putem da următorul răspuns: funcţiile care admit o primitivă
    de forma precizată sunt:
    \[ f_1 \,] .\[ f_2 \,] .
    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde