Home/ Intrebari/Q 83180
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

dragomir89
user (0)
Pe: 2013-10-05T19:54:19+03:00 In: In:

Integrare prin parti

Mai am o intrebare.dar integrala :integrala din (x^2*sqrt(x^2+1)) cum se calculeaza?

Similare

1 raspuns

  1. ghioknt
    profesor

    Hai să stabilim un rezultat mai general: să calculăm

        \[ I_n \left( m \right) = \int {x^n \sqrt {x^2 + m} dx,\,\,n \in N,\,\,\,m \in R^ * } . \]

    Putem calcula aceste primitive pe R, dacă m>0, sau pe unul dintre intervalele

        \[ \left( { - \infty ;\, - \sqrt {\left| m \right|} } \right),\,\,\,\left( {\sqrt {\left| m \right|} ;\,\,\infty } \right) \]

    , daca m<0.
    Presupun că ştii că

        \[ I_0 = \int {\sqrt {x^2 + m} dx = \frac{x}{2}} \sqrt {x^2 + m} + \frac{m}{2}\ln \left| {x + \sqrt {x^2 + m} } \right| + C.\,\,Pentru\,\,I_1 = \int x \sqrt {x^2 + m} dx \]

    facem schimbarea de variabilă

        \[ t = x^2 + m,\,\,dt = 2xdx,\,\,I_1 = \frac{1}{2}\int {\sqrt {x^2 + m} \cdot 2xdx\,\,se\,\,\,transforma\,\,\,in} \,\,\frac{1}{2}\int {t^{\frac{1}{2}} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot t^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3}t\sqrt t + C\,\,} \]

    ,
    deci

        \[ I_1 = \left( {x^2 + m} \right)\sqrt {x^2 + m} + C \]

    .
    Pentru n>=2

        \[ \begin{array}{l} I_n \left( m \right) = \int {\frac{{x^n \left( {x^2 + m} \right)}}{{\sqrt {x^2 + m} }}} dx = \int {\frac{x}{{\sqrt {x^2 + m} }}} \cdot x^{n + 1} dx + m\int {\frac{x}{{\sqrt {x^2 + m} }} \cdot x^{n - 1} dx = x^{n + 1} } \sqrt {x^2 + m} - \left( {n + 1} \right)\int {x^n \sqrt {x^2 + m} dx} + \\ + mx^{n - 1} \sqrt {x^2 + m} - m\left( {n - 1} \right)\int {x^{n - 2} \sqrt {x^2 + m} dx} = x^{n + 1} \sqrt {x^2 + m} - \left( {n + 1} \right)I_n \left( m \right) + mx^{n - 1} \sqrt {x^2 + m} - \\ - m\left( {n - 1} \right)I_{n - 2} \left( m \right) \Rightarrow \left( {n + 2} \right)I_n \left( m \right) = x^{n + 1} \sqrt {x^2 + m} + mx^{n - 1} \sqrt {x^2 + m} - m\left( {n - 1} \right)I_{n - 2} \left( m \right) \Rightarrow \\ I_n \left( m \right) = \frac{1}{{n + 2}}x^{n - 1} \left( {x^2 + m} \right)\sqrt {x^2 + m} - \frac{{m\left( {n - 1} \right)}}{{n + 2}}I_{n - 2} \left( m \right). \\ \end{array} \]

    Cu această formulă de recurenţă, pornind de la I_0 sau I_1, putem ajunge, din aproape în aproape, la oricare I_n.
    Tu vrei să calculezi

        \[ \begin{array}{l} I_2 \left( 1 \right) = \frac{1}{4}x\left( {x^2 + 1} \right)\sqrt {x^2 + 1} - \frac{1}{4}I_0 \left( 1 \right) = \frac{x}{4}\left( {x^2 + 1} \right)\sqrt {x^2 + 1} - \frac{x}{8}\sqrt {x^2 + 1} - \\ - \frac{1}{8}\ln \left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right) + C = \frac{{2x^3 + x}}{8}\sqrt {x^2 + 1} - \frac{1}{8}\ln \left( {x + \sqrt {x^2 + 1} } \right) + C. \\ \end{array} \]

    Cu bine, ghioknt.

Raspunde

Raspunde