Home/ Intrebari/Q 83046
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

gunty
maestru (V)
Pe: 2013-09-29T19:05:18+03:00 In: In:

Inegalitate greoaie

    \[ Fie\;a,b,c \in R\;astfel\;incat\;a^2 + b^2 + c^2 = 3.\;Sa\;se\;arate\;ca\;a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 \ge 3abc. \]

*** QuickLaTeX cannot compile formula:
\[
	\begin{array}{l}
	 Rezolvare\;partiala]

*** Error message:
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 9 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

Multumesc anticipat!

Similare

2 raspunsuri

  1. ghioknt
    profesor

    Caracterul de ,,greoaie” este dat de faptul că inegalitatea de demonstrat nu este omogenă – membrul întâi este de gradul
    patru in a, b, c, iar membrul doi, de gradul trei – în timp ce inegalitaţile cunoscute şi folosite în demonstraţii sunt omogene.
    Avem următorul principiu: o funcţie definită pe un interval închis are ca puncte de extrem, fie capetele intervalului, fie puncte
    din interior care sunt rădăcini ale derivatei (pentru funcţii derivabile, evident). Astfel, pentru ofuncţie de gradul doi definită pe
    [d; e] singura radacina a derivatei este celebrul -b/2a; dacă acesta nu se află în interval, atunci d şi e vor fi, unul punct de minim,
    celălalt, punct de maxim: dacă -b/2a este în interval, atunci el va fi un punct de extrem, iar d (sau e) va fi celălalt punct de extrem’
    Voi considera

        \[ a \ge \,b \ge c \ge 0 \]

    .Condiţia din ipoteză nu poate fi îndeplinită de trei numere subunitare, deci

        \[ a \in \left[ {1;\,\,\sqrt 3 } \right] \]

    .
    Inegalitatea dintre media geometrică şi media patratică ne dă:

        \[ \sqrt {bc} \le \sqrt {\frac{{b^2 + c^2 }}{2}} = \sqrt {\frac{{3 - a^2 }}{2}} \le 1,\,\,deci\,\,bc \le \frac{{3 - a^2 }}{2} \le 1 \]

    .
    Considerăm funcţia

        \[ f\left( {a,p} \right) = a^2 \left( {3 - a^2 } \right) + p^2 - 3ap = p^2 - 3ap + 3a^2 - a^4 ,\,\,\,a \in \left[ {1;\,\,\sqrt 3 } \right],\,\,p \in \left[ {0;\,\,\frac{{3 - a^2 }}{2}} \right] \subset \left[ {0;\,\,1} \right] \]

    , obţinuta din
    relaţia de demonstrat prin substituţia bc=p. Privită ca funcţie de gradul doi in p, ea are punctul de minim -b/2a=3a/2>1,
    deci în afara intervalului [0; (3-a^2)/2]. Dacă p=0, atunci b=0 sau c=0, deci inegalitatea este adevarată. Pentru p=(3-a^2)/2

        \[ f\left( {a,\frac{{3 - a^2 }}{2}} \right) = \frac{{9 - 6a^2 + a^4 }}{4} - \frac{{9a - 3a^3 }}{2} + 3a^2 - a^4 = .... = \frac{3}{4}\left( {a - 1} \right)^2 \left( {9 - a^2 } \right) \]

    . Pentru

        \[ \,a \in \left[ {1;\,\,\sqrt 3 } \right] \]

    al doilea factor estestrict pozitiv,
    dar primul ia şi valoarea 0 pentru a=1 (si p=1). Deci min f(a, p)=0, iar minimul se obţine când a=1si p=1, adică a=b=c=1,
    dar şi pentru a=rad3, b=c=0. Cu aceasta inegalitatea este demonstrată pentru numere pozitive. Dacă, aşa cum ai observat,
    două dintre ele sunt negative, aplicăm inegalitatea pentru modulele lor, dar între relaţiile scrise cu, sau fără module nu există
    nicio diferenţă în acest caz.
    Sper că am reuşit să fiu cât de cât explicit.
    Cu bine, ghioknt.
    d

  2. gunty
    maestru (V)

    Multumesc!

Raspunde

Raspunde