Fie a si x numere naturale cu proprietatea ca sinx <= a*cosx. Sa se arate ca sinx – a^3cosx <= 1/3 * rad(1+a^6).
AniDeȘcoală.ro
Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Fie a si x numere naturale cu proprietatea ca sinx <= a*cosx. Sa se arate ca sinx – a^3cosx <= 1/3 * rad(1+a^6).
Am vazut deja problema si chiar ma intereseaza rezolvarea si pe mine, caci n-am reusit s-o fac…
Multumesc! Eu sunt a9a si inca nu ma prea descurc cu trigonometria, nu stiu inca formulele esentiale.
1). Pentru a=0 sau a=1 implicaţia nu necesită nicio demonstraţie, deci voi considera a>=2.
![\[ Pentru\,\,a \ge 3]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc7a1beadacdd81bae7f5e33d37c9a9f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2). Voi considera x real, căci dacă implicaţia are loc pe R, ea are loc şi pe N.
3). Pentru că funcţiile trigonometrice care apar în problemă sunt periodice de perioadă 2pi, este suficient să demonstrez pentru
x dintr-un interval de lungime 2pi; am ales intervalul [-3pi/2; pi/2].
4). Determin valorile lui x care satisfac ipoteza. sinx-acosx<=0 <=> (1/rad(1+a^2))sinx-(a/rad(1+a^2))cosx<=0.
Pentru că numerele din paranteze sunt pozitive şi au suma pătratelor egală cu 1, deducem că există u în (0; pi/2) a.î.
cosu=1/rad(1+a^2) şi sinu=a/rad(1+a^2); ipoteza este acum: cosu*sinx – sinu*cosx<=0 <=> sin(x-u)<=0, deci
(x-u) E [-pi; 0], sau x E [u-pi; u]
5). Cerinţa o scriu aşa: (1/rad(1+a^6))sinx-(a^3/rad(1+a^6))cosx<=1/3. Idem, există v în (0; pi/2) (unic, la fel şi u)
a.î.cosv=1/rad(1+a^6) şi sinv=a^3/rad(1+a^6), cu care cerinţa devine sin(x-v) <= 1/3.
Din x E [u-pi; u], deduc (x-v) E [u-pi-v; u-v]=[-pi-(v-u); -(v-u)]. Observând că tgv=a^3 si tgu=a, deduc ca v>u,
deci -(v-u) este în cadranul IV, iar -pi-(v-u) este în II. Din monotonia şi semnul funcţiei sin deduc că cea mai mare valoare
a lui sin(x-v) este sin(-pi-v+u)=-sin(-v+u)=sin(v-u)=sinvcosu-cosvsinu= a^3/rad(1+a^6)*1/rad(1+a^2)-1/rad(1+a^6)*a/rad(1+a^2)
=(a^3-a)/rad(1+a^2+a^6+a^8). Mai arăt că acest maxim este <=1/3. Pentru a=2 se verifică prin calcul direct.
(a^3-a)/rad(1+a^2+a^6+a^8)<=1/3 <=> 9(a^6-2a^4+a^2)<=1+a^2 +a^6+a^8 <=> 8a^6+8a^2<=1+18a^4+a^8
<=> 8/a^2 + 8/a^6<=1+18/a^4 +1/a^8.
ceeace demonstrează că max sin(x-v)<1/3.
Sper ca te-am făcut să crezi că ai înţeles. Dacă nu, revino cu întrebări punctuale acolo unde zicerile mele sunt ceţoase
pentru tine.
Cu bine, ghioknt.
Iti multumesc pentru demonstrare, am salva-o, dar inca nu o inteleg 100% din cauza faptului ca inca nu am facut functii trigonometrice, sau prea multa trigonometrie, in materia de la 9a, am terminat toata algebra in afara de trigonometrie, si am inceput vectorii. Multumesc din nou!