Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Salut!
Am o integrala definita pe care am incercat sa o calculez prin parti, dar nu am la sfarsit raspuns, deci nu stiu daca e bine sau nu ce am facut.
Avem asa:
![\[ \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {x\arccos xdx} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b6d586fd3d8137eb9d9d4515293f0af4_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Incercam sa calculam prin parti aceasta integrala:
![\[ \begin{array}{l} u\left( x \right) = \arccos x \Rightarrow u'\left( x \right) = \frac{{ - 1}}{{\sqrt {1 - x^2 } }} \\ v'\left( x \right) = x \Rightarrow v\left( x \right) = \frac{{x^2 }}{2} \\ \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {x\arccos xdx} = \frac{{x^2 }}{2}\arccos x\left| \begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \end{array} \right. + \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{x^2 }}{{\sqrt {1 - x^2 } }}dx} \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cbdc8034e4cca33c3737cd3552663700_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Notam
![\[ I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{x^2 }}{{\sqrt {1 - x^2 } }}dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {x\frac{x}{{\sqrt {1 - x^2 } }}dx} } \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4474afc0c38e0fd623f431d84b61ddb3_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Calculam iar prin parti:
![\[ \begin{array}{l} I = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {x\frac{x}{{\sqrt {1 - x^2 } }}dx} \left| { \cdot \left( { - 1} \right) \Rightarrow - I = } \right.\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {x\frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - x^2 } }}dx} \\ \left\{ \begin{array}{l} u\left( x \right) = x \Rightarrow u'\left( x \right) = 1 \\ v'\left( x \right) = \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - x^2 } }} \Rightarrow v\left( x \right) = \sqrt {1 - x^2 } \\ \end{array} \right. \\ - I = x\sqrt {1 - x^2 } \left| \begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \end{array} \right. - \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {1 - x^2 } dx} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\sqrt {1 - x^2 } dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{1 - x^2 }}{{\sqrt {1 - x^2 } }}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {1 - x^2 } }} - I} \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ Din\,\,\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right) \Rightarrow - I = x\sqrt {1 - x^2 } \left| \begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \end{array} \right. - \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {1 - x^2 } }} + I} \Rightarrow 2I = \arcsin x\left| \begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \end{array} \right. - x\sqrt {1 - x^2 } \left| \begin{array}{l} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow \\ \Rightarrow 2I = \frac{\pi }{6} - \frac{1}{2}\sqrt {1 - \frac{1}{4}} = \frac{\pi }{6} - \frac{1}{2}\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{4\pi - 6\sqrt 3 }}{{24}} \Rightarrow I = \frac{{4\pi - 6\sqrt 3 }}{{48}} \\ Din\,\,prima\,\,relatie] \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d431e99ace91a345fc516e8c53872a96_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
E corect ce am facut? Exista o varianta mai simpla?
Multumesc cu respect.
Inlocuieste pe ”x” cu ; x=cost, atunci ; dx=-sint.dt si pentru x=0->t=0 si pentru x=1/2->t=(pi)/3 si integrala este mai accesibila
Vă salut,
Dacă avem că x = cost şi x = 0, rezultă că
, adică t nu poate fi egal cu zero.
Mulţumesc.
Green eyes.
”Green”, multumesc pentru corectura. Cred ca imi pierd , putin cate putin, memoria . Cu respect DD