Home/ Intrebari/Q 82678
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

dya05
Pe: 2013-09-04T14:54:27+03:00 In: In:

clasa a 9a

buna..va rog sa ma ajutati:cum demonstrez ca exista o infinitate de numere naturale pentru care √(n^2+7n+2) este irational

Similare

3 raspunsuri

  1. red12dog34
    veteran (III)

    Trebuie de aratat ca exista o infinitate de numere naturale n pentru care n^2+7n+2 nu este patrat perfect.
    Patratele numerelor naturale se termina in 0, 1, 4, 5, 6, 9.
    Daca n are ultima cifra 0, atunci ultima cifra a lui n^2+7n+2 este 2, deci nu este patrat perfect si atunci \sqrt{n^2+7n+2}\notin Q

  2. gunty
    maestru (V)

        \[ \begin{array}{l} Sa\;aflam\;numerele\;naturale\;pentru\;care\;n^2 + 7n + 2\;este\;patrat\;perfect,\;adica\;n^2 + 7n + 2 = k^2 _{\left( 1 \right)} ,k \in N. \\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow n^2 + 7n + 2 - k^2 = 0. \\ \Delta = 41 + 4k^2 = p^2 ;\quad n_{1,2} = \frac{{ - 7 \pm \sqrt {41 + 4k^2 } }}{2} \\ Ca\;n\;sa\;fie\;nr\;natural,\;trebuie\;ca\;\Delta \;sa\;fie\;patrat\;perfect,\;adica\;41 + 4k^2 = p^2 \Leftrightarrow 41 = \left( {p - 2k} \right)\left( {p + 2k} \right),p \in N. \\ Deoarece\;41\;este\;numar\;prim\;si\;p - 2k \le p + 2k \in N \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} p - 2k = 1 \\ p + 2k = 41 \\ \end{array} \right. \Rightarrow p = 21 \Rightarrow k = 10 \Rightarrow n_{1,2} = \frac{{ - 7 \pm 21}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} n_1 = 7 \\ n_2 = - 14 \notin N \\ \end{array} \right.. \\ Deci\;singura\;valoare\;n(natural)\;pentru\;care\;n^2 + 7n + 2\;e\;patrat\;perfect,\;adica\;\sqrt {n^2 + 7n + 2} \in N\;este\;n = 7.\;De\;aici \\ rezulta\;ca\;\sqrt {n^2 + 7n + 2} \;este\;irational\;pentru\;oricare\;n \in N\backslash \left\{ 7 \right\},\;adica\;pentru\;o\;infinitate\;de\;numere\;naturale. \\ \end{array} \]

    PS: Mult mai frumoasa demonstratia lui red_dog 😀.

  4. dya05

    multumesc mult amândurora

Raspunde

Raspunde