1.Calculati suma numerelor naturale nenule care impartite la 205 dau catul si restul numere consecutive catul fiind mai mare decat restul.
2.Calculati suma numerelor naturale nenule care impartite la 49 dau catul si restul numere pare consecutive,restul fiind mai mare decat catul,catul diferit de zero.
3.Sa se afle suma numerelor naturale nenule care impartite la 27 dau un rest egal cu dublul catului.
4.Determinati cel mai mic si cel mai mare numar impar care impartite la 37 dau catul 12.
5.Determinati cel mai mic numar natural diferit de zero si cel mai mare numar natural care impartite la 2006 dau catul mai mic decat restul.
Avem ca n=205q+r=205(r+1)+r=206r+205 unde r ia valori naturale de la 0 la 204.
Deci S=(206*0+205)+(206*1+205)+…+(206*204*205)=
=206*(1+2+…+204)+205^2=
=206*205*204/2+205^2=
=205(206*102+205)=…
2) n=49q+r=49*2t+2t+2=100t+2 unde t ia valori naturale de la 1 la 23.
Deci S=(100*1+2)+(100*2+2)+…+(100*23+2)=
=100(1+2+3+…+23)+2*23=
=(100*24*23/2)+2*23=…
Avem ca n=27q+r=27q+2q=29q cu q luand valori naturale de la 1 la 13.
Deci S=29(1+2+…+13)=29*13*14/2=…
4)
n=37*12+r unde r ia valori naturale de la 1 la 36.
Deci….
n=2006q+r; 0<=q<r<2006
Cel mai mic numar cu proprietatea din enunt se obtine pentru
q=0 si r=1 si deci este egal cu 1 iar cel mai mare se obrine pentru
q=2004 si r =2005 si este egal cu
2006*2004+2005=…