Home/ Intrebari/Q 82587
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

viperaza
Pe: 2013-08-28T09:26:04+03:00 In: In:

numere complexe

Fie z1,z2 numere complexe a.î. z1^3=z2^3=z1+z2. Determinati z1,z2.

Similare

10 raspunsuri

  1. PallMall

    Ti-am aratat cu merge rezolvat..continua tu apoi .

    Sper ca am fost de ajutor.

  2. PallMall

    Ti-am aratat cu merge rezolvat..continua tu apoi .

    Sper ca am fost de ajutor.

  4. Zeus
    veteran (III)

    –-

  5. viperaza

    Problema e de la OLM Dambovita. Va prezint rezolvarea de pe barem, pentru ca l-am gasit intre timp.

    \frac{z_{1}^{3}}{z_{2}^{3}}=1\Leftrightarrow (\frac{z_{1}}{z_{2}})^{3}-1=0\Leftrightarrow (\frac{z_{1}}{z_{2}}-1)[(\frac{z_{1}}{z_{2}})^{2}+\frac{z_{1}}{z_{2}}+1]=0\Rightarrow \frac{z_{1}}{z_{2}}=1\; sau\; \frac{z_{1}}{z_{2}}\epsilon \left \{\varepsilon,\varepsilon ^{2} \right \}\; unde\; \varepsilon ^{3}=1,\varepsilon \: \epsilon\: \mathbb{C}-\mathbb{R}

    Daca z1=z2 atunci 2z_{1}=z_{1}^{3}. Deci dacă scriem z1=a+bi primim a^{2}-b^{2}=2 si 2ab=0 sau z1=0. De aici z_{1},z_{2}\epsilon\:\left \{ 0,\pm sqrt{2} \}

    Daca z_{1}=\varepsilon z_{2}\Rightarrow z_{2}(1+\varepsilon )=z_{2}^{3}\Leftrightarrow z_{2}^2=-\varepsilon ^2\Leftrightarrow z_{2}=\varepsilon i\Rightarrow z_{1}=\varepsilon ^{2}i

    Dacă z_{1}=\varepsilon^{2} z_{2}\Rightarrow z_{2}(1+\varepsilon^{2} )=z_{2}^{3}\Leftrightarrow z_{2}^2=-\varepsilon \Leftrightarrow z_{2}=\varepsilon^{2} i\Rightarrow z_{1}=\varepsilon i

  6. Zeus
    veteran (III)

    Mister, daca ai rezolvarea pe barem ptr ce ne-o mai ceri noua? O sa sterg rezolvarea mea… credeam ca e buna si o sa apreciezi dar… Hai ca o sa propun si eu probleme la care am baremu` in fata sa vedem atunci distractie. Chiar culmea. Propune si tu probleme care nu stii sa le rezolvi ptr asta e forumul sa invatam unii de la ceilalti… acum stii ce ai facut??? Am rezolvat problema ce-i drept mai simplificat iar tu mi-ai dat peste bot cu baremu`… ca uite domle asta zice mai bine aici… ti se pare ok?

  8. viperaza

    Apreciez rezolvarile amandurora. Am specificat ca am gasit baremul intre timp, pentru ca era in acelasi document pdf cu subiectele, dar la sfarsit, dupa subiectele de clasa XI si XII si de obicei baremele se gasesc separat de subiecte, asa ca nu l-am cautat de la inceput acolo.

    Imi cer scuze ca am uitat sa incep cu multumirile. Pentru ca am gasit rezolvarea am zis ca ar fi bine sa o postez. Imi cer scuze daca v-am cauzat inconveniente.

  9. Zeus
    veteran (III)

    Stai flex. Ceva imi zice ca am gresit la calcule. O sa revad si postez mai incolo daca cumva au fost erori. N-ai ptr ce.

  10. ghioknt
    profesor

    Cautam solutiile nenule ale sistemului. Evident, z1, z2 sunt doua dintre radacinile cubice ale unui numar u (z1^3=z2^3=u).
    Fie A, B, P imaginile numerelor z1, z2, u. Vectorial avem: OA +OB=OP. OP este deci diagonala scurta
    a unui romb cu un unghi de 120 gr., adica OP=OA, sau r^3=r, de unde r=1.
    Daca notam t=argu, atunci argumentele radacinilor cubice vor fi t/3, t/3+ 2pi/3, t/3+4pi/3, si doua dintre aceste radacini vor fi
    tocmai z1 si z2. OP fiind pe bisectoarea unghiului AOB, trebuie sa avem: 1/2(argz1+argz2)=t
    a) 1/2(t/3+t/3+2pi/3)=t da t=pi/2, z1=cospi/6+isinpi/6, z2=cos5pi/6+…
    b) 1/2(t/3+t/3+4pi/3)=t da t=pi, nu convine.
    c)Nu mai cercetam; daca (z1, z2) este o solutie, atunci si (-z1, -z2) este sulutie, deci ar trebui sa obtinem
    z’1=-z1=cos7pi/3+…, z’2=-z2=cos11pi/3+….
    Cu bine, ghioknt.

  12. Zeus
    veteran (III)

    Ma bate?
    z_1^3+z_2^3=2(z_1+z_2)=>z_2=-z_1=>z_1=z_2=0\\ z_1^2+z_2^2-z_1z_2=2=>(z_1+z_2)^2=3*z_1z_2+2\\ (z_1*z_2)^3=(z_1+z_2)^2...P=z_1*z_2=>P^3-3*P-2=0=>(P+1)^2(P-2)=0.\\ a) P=2...z_1z_2=2...S=z_1+z_2=>P^3=S^2=8\\ a1) S=2\sqrt{2}=>z_1=z_2=\sqrt{2}.\\ a2) S=-2\sqrt{2}=>z_1=z_2=-\sqrt{2}.\\ b) P=-1...z_1z_2=-1...S^2=-1\\ b1) S=i=>z_1=\frac{\sqrt{3}+i}{2}...z_2=\frac{-sqrt{3}+i}{2}... \\z_1=\frac{-sqrt{3}+i}{2}...z_2=\frac{\sqrt{3}+i}{2}.\\ b2) S=-i=>z_1=\frac{\sqrt{3}-i}{2}...z_2=\frac{-sqrt{3}-i}{2}... \\z_1=\frac{-sqrt{3}-i}{2}...z_2=\frac{\sqrt{3}-i}{2}.\\
    Se pare ca nu ma bate!!!

  13. Zeus
    veteran (III)

    Acuma ca am dus la bun final problema am dreptu` sa ma uit pe barem! Eu zic ca rezolvarea lor e interesanta dar neintuitiva. Tipic OLM. Sper sa ne mai auzim si cu alte probleme interesante.

Raspunde

Raspunde