Home/ Intrebari/Q 82495
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

viperaza
Pe: 2013-08-16T15:51:22+03:00 In: In:

inecuatie(2)

Pentru x real, demonstrati:

    \[\sqrt[3]{1+2^{x}}+\sqrt[3]{1-2^{x}}<2\]

Similare

4 raspunsuri

  1. andu_flavius95
    maestru (V)

    Folosesti inegalitatea mediilor MG-MA:

        \[\begin{array}{l} \sqrt[3]{{abc}} \le \frac{{a + b + c}}{3}\;,\forall a,b,c>0\\ \sqrt[3]{{1 + {2^x}}} \le \frac{{3 + {2^x}}}{3}\\ \sqrt[3]{{1 - {2^x}}} \le \frac{{3 - {2^x}}}{3}\\ \Rightarrow \sqrt[3]{{1 + {2^x}}} + \sqrt[3]{{1 - {2^x}}} \le \frac{6}{3} = 2\;,\forall x \in \mathbb{R} \end{array}\]

    Iti ramane doar de aratat ca inegalitatea este stricta in raport cu 2 .

  2. viperaza

    Inegalitatea mediilor se aplica doar pentru numere pozitive, iar acel 1-2^x ia valori negative. Altfel, e frumoasa rezolvarea.

  4. andu_flavius95
    maestru (V)

    Asa este ,bravo ,ai fost atent ! 🙂 A fost doar o mica capcana ,sa vad daca observa cineva ; mai ales ca duce la un rezultat asemanator 😆 .

  5. viperaza

    Rezolvare:

    Scriem

        \[\sqrt[3]{1+2^{x}}-1<\sqrt[3]{2^{x}-1}+1\]

    Folosim formula:

        \[(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})=a^{3}\pm b^{3}\]

    şi scriem

        \[(\sqrt[3]{1+2^{x}}^{2}+\sqrt[3]{1+2^{x}}+1)(\sqrt[3]{1+2^{x}}-1)=2^{x}\Leftrightarrow \sqrt[3]{1+2^{x}}-1=\frac{2^{x}}{\sqrt[3]{1+2^{x}}^{2}+\sqrt[3]{1+2^{x}}+1}\]

    si analog

        \[\sqrt[3]{2^{x}-1}+1=\frac{2^{x}}{\sqrt[3]{2^{x}-1}^{2}-\sqrt[3]{2^{x}-1}+1}\]

    \frac{2^{x}}{\sqrt[3]{1+2^{x}}^{2}+\sqrt[3]{1+2^{x}}+1}<\frac{2^{x}}{\sqrt[3]{2^{x}-1}^{2}-\sqrt[3]{2^{x}-1}+1}\Leftrightarrow \sqrt[3]{1+2^{x}}^{2}+\sqrt[3]{1+2^{x}}>\sqrt[3]{2^{x}-1}^{2}-\sqrt[3]{2^{x}-1} adevarat deoarece

        \[(2^{x}+1)^{2}>(2^{x}-1)^{2}\]

Raspunde

Raspunde