Home/ Intrebari/Q 82420
Urmator
In Process

AniDeȘcoală.ro Latest Intrebari

MaTe1997
Pe: 2013-08-03T15:16:12+03:00 In: In:

Inductie matematica

Sa se verifice prin inductie matematica urmatoarele inegalitati:
a) 3^n>=n^3 oricare ar fi n>=2

Si mai am cateva nelamuriri.Intr-o inecuatie sau inegalitate cand se poate elimina numitorul?Eu stiam ca atunci cand necunoscuta nu este la numitor dar ma-m uitat peste exercitiile din caietul de clasa pe care le-am facut cu domn profesor si am observat urmatorul exemplu: p(n):1+1/sqrt(2)+…+1/sqrt(n)>=sqrt(n) oricare ar fi n>=1
dupa care face verificarea: p(1): 1>=1 adevarat
p(m) implica p(m+1).Il scrie pe p(m),dupa il scrie pe p(m+1) face inlocuirea si obtine:sqrt(m)+1/sqrt(m+1)>=sqrt(m+1) / si inmulteste cu sqrt(m+1)>0
Nu inteleg de ce a eliminat numitorul.Si inca ceva daca intr-o ecuatie sau inecuatie avem aceeasi putere in ambii membrii putem elimina puterea de exemplu:5^4>4^4 sa devina 5>4.Exista vreo operatie inversa ridicarii la putere?Multumesc anticipat va rog ajutati-ma

Similare

4 raspunsuri

  1. gunty
    maestru (V)

    \[ P\left( n \right)]

        \[ \begin{array}{l} Verificam\;P\left( 2 \right)]{3} \ge 1 + \frac{1}{k} \Leftrightarrow \sqrt[3]{3} - 1 \ge \frac{1}{k}_{\left( {adev.\;\forall k \ge 3} \right)} \\ \end{array} \]

        \[ \left. \begin{array}{l} P\left( 2 \right)\;adev. \\ P\left( k \right) \to P\left( {k + 1} \right)\;adev. \\ \end{array} \right\} \Rightarrow P\left( n \right)\;adev.\;\forall n \ge 2. \]

    In continuare voi incerca sa-ti raspund la intrebari…😀

        \[ \begin{array}{l} 1. \\ Orice\;inegalitate\;poate\;fi\;inmultit\;cu\;un\;numar\;real\;nenul,\;pri\min d\;o\;inegalitate\;echivalenta\;cu\;'originalul'. \\ Insa\;trebuie\;sa\;ai\;grija\;atunci\;cand\;inmultesti\;cu\;un\;numar\; < 0,\;deoarece\;in\;acest\;caz\;semnul\;inegalitatii\;se\;schimba\;\left( {de\;ex.\;daca\;inmultim\;cu\; - 1\;inegalitatea\;2 < 3,\;primim\; - 2 > - 3} \right). \\ 2. \\ Da,\;exista\;o\;operatie\;inversa\;ridicarii\;la\;putere.\;Acesta\;este\;radicalul.\;Deci\;5^4 > 4^4 \Leftrightarrow \sqrt[4]{{5^4 }} > \sqrt[4]{{4^4 }} \Leftrightarrow 5 > 4. \\ \end{array} \]

  2. ghioknt
    profesor

    Obs. 1. In textul demonstrativ pentru P(k+1) se lasa impresia ca in inegalitatea de demonstrat se inlocuieste
    3^k cu k^3; ori, cf. P(k), aceste expresii nu sunt egale. Propun urmatorul text (aplicabil in cazul inegalitatilor).

        \[ \begin{array}{l} Fie\,\,P\left( k \right)]{3} - 1 \ge \frac{1}{k}(adev.\,\,\forall k \ge 3,\,\,dar\,\,nu\,\,pentru\,\,k = 2\,\,!).\,\,\,Din\,\,\left( 1 \right)\,\,si\,\,\left( 2 \right)\,\,deducem: \\ \,P\left( {k + 1} \right)\,\,este\,\,adevarata\,\,daca\,\,P\left( k \right)\,\,este\,\,adevar ata\,,\,\,\forall k \ge 3.\,\,Sunt\,\,doar\,\,nuante. \\ \end{array} \]

    Obs. 2.(de fond). Pentruca despre propozitiile P(k)->P(k+1) nu am reusit sa demonstrez ca sunt adevarate decat
    de la 3 in sus, pentru ca principiul inductiei sa functioneze trebuie verificata si P(3). Asadar:
    Propozitia P(3) fiind adevarata, iar propozitiile P(k)->P(k+1) sunt si ele adevarate pentru orice k>=3, deducem
    (conf. principiului inductiei) ca propozitiile P(n) sunt adevarate pt. orice n>=3.
    Dar si P(2) este adevarata, de unde concluzia ceruta.
    Cu bine, ghioknt.

  4. ghioknt
    profesor

    Cautand paie in textele altora, nu am vazut ditamai barna….
    Am scris: ,,3^(k+1)>=3k^3 (1), adevarata pt. orice k>=2.” Corect ar fi fost:
    adevarata pt. orice k>=2, pentru care P(k) este adevarata.
    Altminteri, s-ar intelege ca eu contez in demonstratie pe faptul ca P(k) ar fi adevarata pt. orice k>=2, ceeace ar fi un
    veritabil cerc vicios.
    Tuturor celor dispusi sa invete si din greselile mele, cu bine.
    ghioknt.

  5. MaTe1997

    Multumesc tuturor pentru raspunsuri!

Raspunde

Raspunde