Inca o integrala!

teorema Bonnet Weierstress
daca $f:[1,\infty)\rightarrow R$ e monotona si marginita atunci sirul $(a_n)_{n\geq 1}$ cu termenul general $a_n=f(1)+f(2)+...+f(n)-\int_1^n f(x)dx$ este convergent.
Demonstratie:
daca $f$ e descrescatoare, $a_{n+1}-a_n=f(n+1)-\int_n^{n+1} f(x)dx=\int_n^{n+1} [f(n+1)-f(x)]dx\leq 0$
deci $a_n$ e un sir descrescator.
Pe de alta parte $a_n=\sum_{k=1}^{n-1}[f(k)-\int_k^{k+1} f(x)dx]+f(n)=\sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1}[f(k)-f(x)]dx+f(n)$
tinand seama de monotonia lui f si de faptul ca f e marginita inferior rezulta ca $a_n$ e marginit inferior.
daca f e functie crescatoare se demonstreaza ca $a_n$ e crescatoare,si analog marginirea superioara.

Inregistrare

Login

Resetare parola

Inca o integrala!

Similare

3 raspunsuri

RaspundeAnulează răspunsul

Raspunde
Anulează răspunsul