Inregistrati-va pentru a beneficia de cunostintele comunitatii, a pune intrebari sau a a raspunde la intrebarilor celorlalti.
Suntem o comunitate care incurajeaza educatia si in care se intalnesc know-how-ul si experienta cu perspective inovative de abordare a problemelor.
Autentificati-va pentru a pune intrebari, a raspunde la intrebarilor celorlalti sau pentru a va conecta cu prietenii.
V-ati uitat parola ? Introduceti adresa de email si veti primi o noua parola.
Please briefly explain why you feel this question should be reported.
Va rugam explicate, pe scurt, de ce credeti ca aceasta intrebare trebuie raportata.
Motivul pentru care raportezi utilizatorul.
Se da urmatoarea lege de compozitie definita pe multimea numerelor reale:
![\[ \begin{array}{l} x * y\, = \,xy + 2ax + by,\,\,\,\forall \,\,x,y \in \Re \\ \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-64bd380957cfd4ab014437c0e23dea8b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Zice sa determinam a,b real astfel incat legea sa fie asociativa si comutativa.
Eu am facut asa:
![\[ \begin{array}{l} x * y\, = \,xy + 2ax + by,\,\,\,\forall \,\,x,y \in \Re \\ \\ 1 - \,\,Comutativitate \\ * \, - \,comutativa\, \Leftrightarrow \,\forall \,\,x,y \in \Re \,\,x * y = y * x \\ x * y = xy + 2ax + by \\ y * x = yx + 2ay + bx \\ x * y = y * x \Rightarrow xy + 2ax + by = yx + 2ay + bx \Rightarrow 2ax + by = 2ay + bx \Rightarrow \\ \Rightarrow 2a\left( {x - y} \right) - b\left( {x - y} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - y} \right)\left( {2a - b} \right) = 0 \Rightarrow 2a = b \\ 2 - \,\,Asociativitate \\ * - asociativa \Leftrightarrow \forall \,\,x,y,z \in \Re \,\,(x * y) * z = x * (y * z) \\ (x * y) * z = \left( {xy + 2ax + by} \right) * z = \left( {xy + 2ax + by} \right)z + 2a\left( {xy + 2ax + by} \right) + bz = \\ = xyz + 2axz + byz + 2axy + 4a^2 x + 2aby + bz \\ x * (y * z) = x * \left( {yz + 2ay + bz} \right) = x\left( {yz + 2ay + bz} \right) + 2ax + b\left( {yz + 2ay + bz} \right) = \\ = xyz + 2axy + bxz + 2ax + byz + 2aby + b^2 z \\ (x * y) * z = x * (y * z) \Rightarrow xyz + 2axz + byz + 2axy + 4a^2 x + 2aby + bz = xyz + 2axy + bxz + 2ax + byz + 2aby + b^2 z \Rightarrow \\ \Rightarrow 4a^2 x + bz + 2axz = 2ax + bxz + b^2 z \Rightarrow 4a^2 x + 2axz - 2ax = b^2 z + bxz - bz = \\ = 2az\left( {x - 1} \right) + 4a^2 x = b^2 z + bz\left( {x - 1} \right) \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {2az - bz} \right) = b^2 z - 4a^2 x = \left( {x - 1} \right)\left[ {z\left( {2a - b} \right)} \right] = 4a^2 z - 4a^2 x \Rightarrow \\ \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {z \cdot 0} \right) = 4a^2 \left( {z - x} \right) \Rightarrow 4a^2 = 0 \Rightarrow a = 0 \Rightarrow b = 0 \\ \end{array} \]](https://anidescoala.ro/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ec91043e982f3f6d1cddae2a9f7403e9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La raspunsuri zice ca mai e o solutie, pe langa cea pe care am gasit-o eu, si anume a=1/2 si b=1.
Unde ar fi scaparea?
Multumesc.
N-ai folosit relatia obtinuta la comutativitate (2a=b) in continuare ; legea devine :
x*y=xy+b(x+y) ; y*z= yz+b(y+z)
(x*y)*z=x*(y*z) rezulta (xy+b(x+y))z + b*( xy+b(x+y)+z)=x*( yz+b(y+z))+b*( x+yz+b(y+z))
xyz + bxz + byz + bxy + xb^2 + yb^2 + bz = xyz + bxy + bxz +bx+byz+yb^2 + zb^2
deci xb^2 + bz= zb^2 + bx rezulta (b^2-b)(x-z)=0 rezulta b^2 – b=b(b-1)=0 rezulta b1=0 si b2=
Am inteles. Deci relatia obinuta la comutativitate trebuie aplicata pe lege, si apoi se face asociativitatea…multumesc!