1.Sa se afle ultimele 2 cifre ale numarului
A=1+2^2+2^4+2^6+…+2^2000
2.La un cerc de matematica profesorul are 3n+9 probleme pe care le imparte in mod egal la cei 2n+2 elebi (n apartine N).Aflati numarul elevilor prezenti la cerc , stiin ca acesta este mai mare decat 10.
1.Metoda 1
Observa ca 2+2^3=10 . Formam grupe de cate 2 termeni:
A=1 + 2*(2+2^3) + (2^5)*(2+2^3) +…+(2^1997)*(2+2^3) = 1+10*(2 + 2^5 + +2^1997)
Observa ca termenii sirului 1 , 5,, 1997 sunt de forma 4k+1 , rezulta
u(2)=(2^5)==u(2^1997)=2 rezulta u(2+2^5 + 2^9+2^13+2^17)=0
suma 2 + 2^5 + +2^1997 are 500 de termeni iar 500:5=100 grupe de forma de mai sus;
rezulta 2 + 2^5 + +2^1997=M10=10*p , p E N* rezulta A=1+ 10*10*p=100*p +1 rezulta cerinta
Metoda 2
Ultimele 2 cifre ale lui A sunt date de restul impartirii lui A la 100
100=4*25
Analizam restul A:4
A=1+ 4^1 + 4^2 ++ 4^1000=M4+1
Analizam restul A:25
A=1 + 4^1 + 4^2 ++ 4^1000=(4*1001 -1)/(4-1)= (4*1001 -1)/3
4^1001=4*4^1000=4*(4^4)^250=4*256^200=4*(M25+6)^250=M25 + 4*6^250
6^250=36^125=(25+11)^125=M25+11^125=M25 +11*121^62=M25+11*(4*25+21)^62=M25+11*21^62=M25+11*441^31=M25+11*(17*25+16)^31=M25+11*16^31=M25+11*16*256^15=M25+176*(M25+6)^15=M25+176*6^15=M25+(25*7+1)*6*36^7=M25+6*(M25+11)^7=M25+6*11^7=M25+66*121^3=M25+16*21^3=M25+336*441=M25+11*16=M25+1 deci 6^250= M25+1
rezulta 4*1001 -1= M25+4*(M25+1) -1=M25+3=25a+3
A E N rezulta (25*a+3)/3 E N rezulta 25a+3=M3 , stiind ca (3,25)=1 , rezulta a =M3=3n rezulta A=(25*3n+3):3=25*n+1=M25+1
A=M4+1=25n+1=(6*4+1)n+1=M4+n+1 rezulta n=M4=4m
A=25n+1=25*(4m)+1=100m+1
2)Din enunt rezulta (3n+9)/(2n+2) E N rezulta (2n+2) | (3n+9) rezulta (2n+2) | 2*(3n+9) – 3*(2n+2)=12 rezulta 2n+2 E D12 ={1,2,3,4,6,12}
Din enunt 2n+2 >10 rezulta 2n+2 =12 rezulta n=…
Calculezi 3n+9=…
apoi verifici (2n+2) | (3n+9) daca este adevarata , atunci este solutie